微分方程式の問題

この方程式は $x^2{y}^{\prime \prime }+ax{y}^{\prime }+by=0$ の形（オイラー型）なので、$x=e^t$（$t=\log x$）と置き換えて、$t$ についての定数係数の方程式に直す。

手順 1：導関数を $t$ で書き直す。 $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}=e^{-t}$ だから、合成関数の微分より
$$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=e^{-t}\frac{dy}{dt}.$$
もう一度 $x$ で微分すると、積の微分と合成関数の微分より
$$y^{\prime \prime }=\frac{d}{dx}\left(e^{-t}\frac{dy}{dt}\right)=e^{-t}\frac{d}{dt}\left(e^{-t}\frac{dy}{dt}\right)=e^{-t}\left(-e^{-t}\frac{dy}{dt}+e^{-t}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\right)=e^{-2t}\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\right).$$
$x=e^t$ なので
$$x{y}^{\prime }=\frac{dy}{dt},x^2{y}^{\prime \prime }=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}.$$

手順 2：方程式に代入する。
$$\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\right)-2\frac{dy}{dt}+2y=0\text{すなわち}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-3\frac{dy}{dt}+2y=0.$$
これは定数係数 2 階線形斉次方程式である。

手順 3：特性方程式を解く。
$${\lambda }^2-3\lambda +2=0,(\lambda -1)(\lambda -2)=0,\lambda =1,2.$$
異なる 2 つの実数解なので、一般解は $C_1,C_2$ を任意定数として
$$y=C_1{e}^t+C_2{e}^{2t}.$$

手順 4：$x$ に戻す。 $e^t=x$ より
$$y=C_{1}x+C_2{x}^2.$$

手順 5：初期条件で定数を決める。 $y^{\prime }=C_1+2C_{2}x$ なので
$$y(1)=C_1+C_2=1,y^{\prime }(1)=C_1+2C_2=0.$$
2 式を引くと $C_2=-1$、よって $C_1=2$。したがって
$$y=2x-x^2.$$

手順 6：値を求める。
$$y(3)=2\cdot 3-3^2=6-9=-3.$$

オイラー型の微分方程式なので $y=x^r$ を代入する。$r(r-1)-2r+2=r^2-3r+2=(r-1)(r-2)=0$ より $r=1,2$。よって一般解は $y=C_{1}x+C_2{x}^2$。
初期条件より $y(1)=C_1+C_2=1$、$y^{\prime }(1)=C_1+2C_2=0$。これを解いて $C_2=-1,C_1=2$。したがって $y=2x-x^2$。
検算：$y^{\prime }=2-2x$、$y^{\prime \prime }=-2$。$x^2(-2)-2x(2-2x)+2(2x-x^2)=-2x^2-4x+4x^2+4x-2x^2=0$ となり成立。$y(1)=1$、$y^{\prime }(1)=0$ も満たす。
よって $y(3)=6-9=-3$。