オイラー型（コーシー・オイラー型）方程式

$x>0$ で定義された関数 $y=y(x)$ についての微分方程式
$$x^2{y}^{\prime \prime }+2x{y}^{\prime }-6y=0$$
の解のうち、初期条件 $y(1)=1,y^{\prime }(1)=7$ を満たすものを求めよ。

$x>0$ で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$x^2{y}^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+2y=0$$
と初期条件 $y(1)=1,y^{\prime }(1)=0$ を満たすとする。このとき $y(3)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された関数 $y=y(x)$ が、微分方程式
$$x^2{y}^{\prime \prime }-4x{y}^{\prime }+6y=0$$
と初期条件 $y(1)=0,y^{\prime }(1)=1$ を満たすとする。$x=e^t$ と置き換えて方程式を解き、$y$ を $x$ の式で表せ。

区間 $[1,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(1)=0$, $y(2)=7$ を満たすものの全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_1^2\left(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2\right)dx$$
の最小値を求めよ。

$C^2([1,2])$ を閉区間 $[1,2]$ 上の実数値 $C^2$ 級関数全体とし（端点では片側微分を考える）、
$$\mathcal{A}=\left\{y\in C^2([1,2])|y(1)=0,y(2)=\frac{7}{4}\right\},\mathcal{H}=\left\{h\in C^2([1,2])|h(1)=h(2)=0\right\}$$
とおく。$y\in C^2([1,2])$ に対して
$$J[y]={\int }_1^2(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2)dx$$
と定め、$y\in \mathcal{A}$ が停留曲線であるとは、すべての $h\in \mathcal{H}$ に対して $\frac{d}{d\epsilon }J[y+\epsilon h]{|}_{\epsilon =0}=0$ が成り立つことと定める。

このとき、$\mathcal{A}$ に属する停留曲線は $y_0(x)=x-\frac{1}{x^2}$ ただ 1 つであり、さらに $y_0$ は $J$ の $\mathcal{A}$ 上の最小値を与える唯一の関数であることを証明せよ。

ただし、変分法の基本補題（$[1,2]$ 上の連続関数 $g$ がすべての $h\in \mathcal{H}$ に対して ${\int }_1^{2}ghdx=0$ を満たすならば $g\equiv 0$）と、連続な係数をもつ 2 階線形同次常微分方程式 $y^{\prime \prime }+a(x)y^{\prime }+b(x)y=0$ の $[1,2]$ 上の解全体が 2 次元の線形空間をなすことは用いてよい。

区間 $[1,e]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(1)=0$, $y(e)=0$ と積分制約
$${\int }_1^{e}y(x{)}^{2}dx=1$$
を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数
$$J[y]={\int }_1^e{x}^2{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

区間 $[1,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、左端の境界条件 $y(1)=0$ だけを満たすもの（右端の値 $y(2)$ は自由）の全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_1^2\left(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2\right)dx-6y(2)$$
の最小値を求めよ。

区間 $[1,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、両端の境界条件 $$y(1)=0,y(2)=\frac{7}{4}$$ を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数 $$J[y]={\int }_1^2\left(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2\right)dx$$ の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

空間的に平坦で、非相対論的な一様気体だけが宇宙のエネルギー密度を担う宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。背景のスケール因子は $a\propto t^{2/3}$、ハッブルパラメータは $H=\dot{a}/a=2/(3t)$ である。背景の膨張に対して気体の圧力は無視できるが、ゆらぎに対しては圧力が効くものとする。

気体の温度は外部（背景放射との強い熱的結合）によって $T\propto a^{-1}$ に保たれている。そのため気体は等温的にふるまい、圧力ゆらぎと密度ゆらぎは $\delta p=c_s^2\delta \rho$ で結ばれる。ここで音速は $c_s^2\propto T\propto a^{-1}$ である。

ホライズンより十分小さいスケールで、ニュートン近似の線形摂動論を用いる。共動波数 $k$ のフーリエモードの密度コントラストを ${\delta }_k(t)=\delta {\rho }_k/\bar{\rho }$ とする。$G$ を重力定数、$\bar{\rho }$ を背景密度として、共動ジーンズ波数 $k_J$ を
$$k_J^2=\frac{4\pi G\bar{\rho }{a}^2}{c_s^2}$$
で定義する（この模型では $k_J$ は時間によらない定数になる）。

$0<k<k_J$ のモードの成長モードは ${\delta }_k\propto a^p$ の形のべき則に従う。指数 $p$ を $k$ と $k_J$ を用いて表せ。