変分法・最適制御の問題

オイラー・ラグランジュ方程式. $L(x,y,y^{\prime })=x^2{y}^{\prime 2}+2y^2$ とすると $L_{y^{\prime }}=2x^2{y}^{\prime }$, $L_y=4y$ なので、オイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{d}{dx}{L}_{y^{\prime }}-L_y=0$ は $$\frac{d}{dx}\left(2x^2{y}^{\prime }\right)=4y\text{すなわち}{x}^2{y}^{\prime \prime }+2x{y}^{\prime }-2y=0.$$ これはオイラー型の方程式で、$y=x^r$ を代入すると $$r(r-1)+2r-2=r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0$$ より $r=1,-2$。一般解は $y=Ax+B{x}^{-2}$。

境界条件. $y(1)=A+B=0$ より $B=-A$、$y(2)=A\left(2-\frac{1}{4}\right)=\frac{7}{4}A=\frac{7}{4}$ より $A=1$。停留曲線は $$y_0(x)=x-\frac{1}{x^2}.$$

最小であることの確認. 任意の $y\in \mathcal{A}$ を $y=y_0+h$（$h(1)=h(2)=0$）と書くと $$J[y]=J[y_0]+2{\int }_1^2\left(x^2{y}_0^{\prime }{h}^{\prime }+2y_{0}h\right)dx+{\int }_1^2\left(x^2{h}^{\prime 2}+2h^2\right)dx.$$ 中央の積分は部分積分により $[x^2{y}_0^{\prime }h{]}_1^2-{\int }_1^2\left((x^2{y}_0^{\prime }{)}^{\prime }-2y_0\right)hdx=0$（オイラー・ラグランジュ方程式と $h$ の境界値より）。最後の積分は $0$ 以上なので $J[y]\ge J[y_0]$。

最小値の計算. $y_0$ がオイラー・ラグランジュ方程式 $(x^2{y}_0^{\prime }{)}^{\prime }=2y_0$ を満たすことを使うと $${\int }_1^2{x}^2{y}_0^{\prime 2}dx=[x^2{y}_0{y}_0^{\prime }{]}_1^2-{\int }_1^2{y}_0(x^2{y}_0^{\prime }{)}^{\prime }dx=[x^2{y}_0{y}_0^{\prime }{]}_1^2-{\int }_1^{2}2y_0^{2}dx$$ なので $J[y_0]=[x^2{y}_0{y}_0^{\prime }{]}_1^2$。$y_0^{\prime }(x)=1+\frac{2}{x^3}$ より $y_0(2)=\frac{7}{4}$, $y_0^{\prime }(2)=\frac{5}{4}$, $y_0(1)=0$。したがって $$J[y_0]=4\cdot \frac{7}{4}\cdot \frac{5}{4}-0=\frac{35}{4}.$$

（検算: 直接計算しても $x^2{y}_0^{\prime 2}=x^2+4x^{-1}+4x^{-4}$, $2y_0^2=2x^2-4x^{-1}+2x^{-4}$ で和は $3x^2+6x^{-4}$、${\int }_1^2(3x^2+6x^{-4})dx=7+2\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{35}{4}$。）

オイラー・ラグランジュ方程式: $\frac{d}{dx}(2x^2{y}^{\prime })-4y=0$、すなわち $(x^2{y}^{\prime }{)}^{\prime }=2y$、$x^2{y}^{\prime \prime }+2x{y}^{\prime }-2y=0$（オイラー型）。$y=x^r$ を代入すると $r(r-1)+2r-2=r^2+r-2=(r+2)(r-1)=0$ より $r=1,-2$。よって $y=Ax+B{x}^{-2}$。
$y(1)=A+B=0$ より $B=-A$。$y(2)=2A-\frac{A}{4}=\frac{7A}{4}=\frac{7}{4}$ より $A=1$。$y_0=x-x^{-2}$。
最小性: 被積分関数は $(y,y^{\prime })$ について凸（$x^2{y}^{\prime 2}+2y^2$ は 2 次形式で正定値）なので、任意の許容 $y=y_0+h$（$h(1)=h(2)=0$）で $J[y]=J[y_0]+2\int (x^2{y}_0^{\prime }{h}^{\prime }+2y_{0}h)dx+\int (x^2{h}^{\prime 2}+2h^2)dx$。中央の項は部分積分とEL方程式で 0 なので $J[y]\ge J[y_0]$。
値: ${\int }_1^2{x}^2{y}^{\prime 2}dx=[x^{2}y{y}^{\prime }{]}_1^2-{\int }_1^{2}y(x^2{y}^{\prime }{)}^{\prime }dx=[x^{2}y{y}^{\prime }{]}_1^2-2\int y^{2}dx$ より $J[y_0]=[x^2{y}_0{y}_0^{\prime }{]}_1^2$。$y_0^{\prime }=1+2x^{-3}$。$x=2$: $4\cdot \frac{7}{4}\cdot \frac{5}{4}=\frac{35}{4}$、$x=1$: $y_0=0$ で 0。よって $J=\frac{35}{4}$。
検算（直接計算）: $x^2{y}^{\prime 2}=x^2+4x^{-1}+4x^{-4}$、$2y^2=2x^2-4x^{-1}+2x^{-4}$、和 $=3x^2+6x^{-4}$。${\int }_1^2(3x^2+6x^{-4})dx=[x^3-2x^{-3}{]}_1^2=(8-\frac{1}{4})-(1-2)=\frac{31}{4}+1=\frac{35}{4}$。一致。