変分法・最適制御

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、左端の条件 $y(0)=0$ だけを満たすもの（右端の値 $y(1)$ は指定しない）の全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_0^1\left(y^{\prime }(x{)}^2-4xy(x)\right)dx$$
の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,1]$ 上の区分的に連続な実数値関数で、値に制限はない）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=u(t)(0\le t\le 1),x(0)=3$$
のもとで、評価関数
$$J[u]={\int }_0^{1}u(t{)}^{2}dt+2x(1{)}^2$$
を最小にしたい。時刻 $t$ に状態 $\xi$ から出発したときの ${\int }_t^{1}u(s{)}^{2}ds+2x(1{)}^2$ の最小値を値関数 $V(t,\xi )$ とし、$V(t,\xi )=p(t){\xi }^2$ の形であることを用いてよい。$J[u]$ の最小値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、左端の境界条件 $y(0)=0$ だけを満たすもの（右端の値 $y(1)$ は自由）の全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_0^1\left(y^{\prime }(x{)}^2+2y(x)\right)dx+y(1{)}^2$$
の最小値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の関数 $y(x)$ で、つねに $y(x)>0$ であり、境界条件 $y(0)=1$, $y(1)=\sqrt{2}$ を満たすもの全体の上で、汎関数
$$J[y]={\int }_0^1\frac{\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}}{y(x)}dx$$
を考える。$J$ の停留曲線（オイラー・ラグランジュ方程式の解で境界条件を満たすもの）はただ 1 つ存在する。この停留曲線 $y(x)$ について、$y\left(\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

区間 $[0,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(0)=0$, $y(2)=0$ と積分制約
$${\int }_0^{2}y(x)dx=2$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_0^2{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

$T=\frac{1}{2}\log 2$ とする。実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,T]$ 上の区分的に連続な実数値関数）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)(0\le t\le T),x(0)=5$$
のもとで、評価関数
$$J[u]={\int }_0^{T}u(t{)}^{2}dt+x(T{)}^2$$
を考える。$J[u]$ の最小値を求めよ。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとり、重力加速度の大きさを $g>0$ とする。原点 $O(0,0)$ と点 $B(\pi -2,2)$ を結ぶなめらかな曲線 $y=y(x)$（$y(0)=0$, $y(\pi -2)=2$, $0<x\le \pi -2$ で $y(x)>0$）に沿って、質点を $O$ から初速度 $0$ で静かに放す。摩擦と空気抵抗は無視でき、$B$ に到達するまでの時間は
$$T[y]={\int }_0^{\pi -2}\frac{\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}}{\sqrt{2gy(x)}}dx$$
で与えられる。$T[y]$ の停留曲線に沿ったときの到達時間（最短の到達時間）を、$g$ を用いて表せ。

$xy$ 平面において、区間 $[-1,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で
$$S[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)dx$$
の最大値を求めよ。

区間 $[-2,2]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-2)=y(2)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-2}^2\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=2\sinh 2$$
をみたすもの全体を考える。この中で汎関数
$$J[y]={\int }_{-2}^{2}y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
（一様な鎖の位置エネルギーに比例する量）を最小にする関数が存在し、それは積分制約つき変分問題の停留曲線（ラグランジュ乗数法によるオイラー・ラグランジュ方程式の解）として得られることが知られている。$J[y]$ の最小値を求めよ。ただし $\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$, $\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ とする。

区間 $[0,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(0)=y(2)=0$ と積分制約
$${\int }_0^{2}y(x{)}^{2}dx=1$$
をみたすもの全体を $\mathcal{A}$ とする。$\mathcal{A}$ 上で汎関数
$$J[y]={\int }_0^2{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
は最小値をもつことが知られている。その最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$ を考える。$u$ は $[0,1]$ 上の区分的に連続な実数値関数で、値に制約はないとする。状態方程式と初期条件を
$$\dot{x}(t)=x(t)+u(t),x(0)=1$$
とし（終端 $x(1)$ は自由）、評価関数
$$J[u]={\int }_0^{1}u(t{)}^{2}dt+x(1{)}^2$$
を考える。$J[u]$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$ を考える。$u$ は $[0,\infty )$ 上の実数値関数で、任意の有界区間上で区分的に連続であるとする。状態方程式と初期条件を
$$\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)(t\ge 0),x(0)=3$$
とし、割引率 $1$ の評価関数
$$J[u]={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}(4x(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を考える。ただし許容される制御は、$J[u]$ が有限で、かつ $\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{-t}x(t{)}^2=0$ をみたすものとする。許容される制御全体での $J[u]$ の最小値を求めよ。

確率空間上の 1 次元標準ブラウン運動 $W(t)$ と、それが生成するフィルトレーションを考える。実数値の制御 $u(t)$ $(0\le t\le 1)$ はこのフィルトレーションに適合し、$E[{\int }_0^{1}u(t{)}^{2}dt]<\infty$ をみたすものとする。状態 $X(t)$ は確率微分方程式
$$dX(t)=u(t)dt+dW(t),X(0)=2$$
に従うとし、コスト
$$J[u]=E[{\int }_0^{1}u(t{)}^{2}dt+X(1{)}^2]$$
を考える。このような制御全体での $J[u]$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$ を考える。$u$ は $[0,3]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たすとする。状態方程式と初期条件は
$$\dot{x}(t)=u(t),x(0)=0$$
であり、終端 $x(3)$ は自由とする。評価関数
$$J[u]={\int }_0^3\left(\frac{1}{2}u(t{)}^2-x(t)\right)dt$$
の最小値を求めよ。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとる。原点 $O(0,0)$ と点 $B(\pi ,2)$ を結ぶ曲線 $y=y(x)$（$y(0)=0$, $y(\pi )=2$, $0<x\le \pi$ で $y(x)>0$）に沿って、質点を $O$ から初速度 $0$ で滑らせる。摩擦と空気抵抗は無視し、重力加速度の大きさを $g$（正の定数）とする。質点が $B$ に到達するまでの時間は
$$T[y]={\int }_0^{\pi }\frac{\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}}{\sqrt{2gy(x)}}dx$$
で与えられる。$T[y]$ を最小にする曲線（最速降下線）に沿ったときの到達時間を $g$ を用いて表せ。

$[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(0)=0$, $y(1)=0$ と積分制約
$${\int }_0^{1}xy(x)dx=1$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_0^1{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,\infty )$ 上の区分的に連続な実数値関数）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=x(t)+u(t)(t\ge 0),x(0)=x_0$$
と割引つきの評価汎関数
$$J(x_0;u)={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}(x(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を考える。$J(x_0;u)<\infty$ となる制御 $u$ の全体を許容制御とし、値関数を $V(x_0)={\inf }_{u}J(x_0;u)$（下限は許容制御全体でとる）と定める。$V(x_0)=p{x}_0^2$（$p>0$ は定数）の形を仮定してハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式を解き、$V(2)$ の値を求めよ。

区間 $[0,\pi ]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(0)=0$, $y(\pi )=0$ と 2 つの積分制約
$${\int }_0^{\pi }y(x{)}^{2}dx=1,{\int }_0^{\pi }y(x)\sin xdx=0$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_0^{\pi }{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,\infty )$ 上の区分的に連続な実数値関数）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=u(t)(t\ge 0),x(0)=2$$
と割引つき評価関数
$$J[u]={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}\left(x(t{)}^2+u(t{)}^2\right)dt$$
を考える。$J[u]$ が有限となる制御 $u$ 全体の中での $J[u]$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x_1(t)$, $x_2(t)$ と制御 $u(t)$ について、状態方程式
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=u(t),$$
初期条件 $x_1(0)=3$, $x_2(0)=2$ を考える。制御 $u$ は区分的に連続で、すべての $t$ で $|u(t)|\le 1$ を満たすものとする。ある時刻 $T>0$ で $x_1(T)=0$, $x_2(T)=0$ となるような制御のうち、到達時刻 $T$ が最小となるものを考える。その最小時刻 $T$ を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,3]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たす）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=2u(t)x(t)(0\le t\le 3),x(0)=1$$
を考える（終端 $x(3)$ は自由）。汎関数
$$J[u]={\int }_0^3(1-u(t))x(t)dt$$
を最大にする制御が存在することは認めてよい。ポントリャーギンの最大原理を用いて、$J[u]$ の最大値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、左端の境界条件 $y(0)=0$ と積分制約 $${\int }_0^{1}y(x)dx=1$$ を満たすもの（右端の値 $y(1)$ は自由）の全体を考える。この範囲で汎関数 $$J[y]={\int }_0^1{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,2]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たす）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)(0\le t\le 2),x(0)=0$$
を考える。終端時刻 $2$ は固定で、終端状態 $x(2)$ は自由とする。評価関数
$$J[u]=x(2)-\frac{1}{2}{\int }_0^{2}u(t)dt$$
の最大値を求めよ。

区間 $[1,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(1)=0$, $y(2)=7$ を満たすものの全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_1^2\left(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2\right)dx$$
の最小値を求めよ。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。長さ $\frac{3}{2}$ の一様な鎖の両端を 2 点 $A(-\log 2,0)$, $B(\log 2,0)$ に固定してつるす。鎖の形を区間 $[-\log 2,\log 2]$ 上の $C^2$ 級関数のグラフ $y=y(x)$ で表すと、鎖は位置エネルギーが最小になる形をとる。すなわち $y(x)$ は、境界条件 $y(-\log 2)=0$, $y(\log 2)=0$ と長さの制約 $${\int }_{-\log 2}^{\log 2}\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=\frac{3}{2}$$ のもとで、汎関数 $$J[y]={\int }_{-\log 2}^{\log 2}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$ を最小にする。この最小を与える曲線は存在し、ラグランジュの未定乗数法によるオイラー・ラグランジュ方程式の解のうち、下に凸なもの（懸垂線）であるとしてよい。このとき、鎖の最も低い点の $y$ 座標を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、2 つの積分制約 $${\int }_0^{1}y(x)dx=0,{\int }_0^{1}xy(x)dx=1$$ を満たすもの（端点 $y(0)$, $y(1)$ の値はどちらも自由）の全体を考える。この範囲で汎関数 $$J[y]={\int }_0^1{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$ の最小値を求めよ。

$T>0$ を定数とし、$0\le t<T$, $x_0\in \mathbb{R}$ とする。区間 $[t,T]$ 上の実数値区分的連続関数（有限個の点を除いて連続で、各不連続点で左右の極限が有限であるもの）全体を ${\mathcal{U}}_t$ とする。$u\in {\mathcal{U}}_t$ に対し、状態 $x:[t,T]\to \mathbb{R}$ を
$$x(s)=x_0+{\int }_t^{s}u(r)dr(t\le s\le T)$$
で定め（すなわち $\dot{x}=u$, $x(t)=x_0$）、評価関数を
$$J_t(x_0;u)={\int }_t^T(x(s{)}^2+u(s{)}^2)ds$$
とする。このとき
$$\underset{u\in {\mathcal{U}}_t}{\min }{J}_t(x_0;u)=x_0^2\tanh (T-t)$$
が成り立つ（左辺の最小値が存在して右辺に等しい）ことを、関数 $V(s,x)=x^2\tanh (T-s)$ がハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式を満たすことを用いて証明せよ。

$C^2([1,2])$ を閉区間 $[1,2]$ 上の実数値 $C^2$ 級関数全体とし（端点では片側微分を考える）、
$$\mathcal{A}=\left\{y\in C^2([1,2])|y(1)=0,y(2)=\frac{7}{4}\right\},\mathcal{H}=\left\{h\in C^2([1,2])|h(1)=h(2)=0\right\}$$
とおく。$y\in C^2([1,2])$ に対して
$$J[y]={\int }_1^2(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2)dx$$
と定め、$y\in \mathcal{A}$ が停留曲線であるとは、すべての $h\in \mathcal{H}$ に対して $\frac{d}{d\epsilon }J[y+\epsilon h]{|}_{\epsilon =0}=0$ が成り立つことと定める。

このとき、$\mathcal{A}$ に属する停留曲線は $y_0(x)=x-\frac{1}{x^2}$ ただ 1 つであり、さらに $y_0$ は $J$ の $\mathcal{A}$ 上の最小値を与える唯一の関数であることを証明せよ。

ただし、変分法の基本補題（$[1,2]$ 上の連続関数 $g$ がすべての $h\in \mathcal{H}$ に対して ${\int }_1^{2}ghdx=0$ を満たすならば $g\equiv 0$）と、連続な係数をもつ 2 階線形同次常微分方程式 $y^{\prime \prime }+a(x)y^{\prime }+b(x)y=0$ の $[1,2]$ 上の解全体が 2 次元の線形空間をなすことは用いてよい。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$ を考える。$u$ は $[0,3]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たすとする。状態方程式は
$$\dot{x}(t)=2u(t)x(t)(0\le t\le 3),x(0)=1$$
で、終端の状態 $x(3)$ は自由とする。このとき、評価汎関数
$$J[u]={\int }_0^3(1-u(t))x(t)dt$$
の最大値を求めよ。

区間 $[1,e]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(1)=0$, $y(e)=0$ と積分制約
$${\int }_1^{e}y(x{)}^{2}dx=1$$
を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数
$$J[y]={\int }_1^e{x}^2{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$ を考える。$u$ は $[0,\infty )$ 上の実数値関数で、任意の有界区間上で区分的に連続であるとする。状態方程式と初期条件を
$$\dot{x}(t)=2x(t)+u(t)(t\ge 0),x(0)=2$$
とし、割引付き評価関数
$$J[u]={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}\left(x(t{)}^2+u(t{)}^2\right)dt$$
を考える（積分が発散する場合は $J[u]=+\infty$ とする）。このような制御 $u$ 全体にわたる $J[u]$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$ を考える。$u$ は $[0,3]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たすとする。状態方程式と初期条件は
$$\dot{x}(t)=2u(t)x(t)(0\le t\le 3),x(0)=1$$
であり、終端状態 $x(3)$ は自由とする。このとき評価汎関数
$$J[u]={\int }_0^3(1-u(t))x(t)dt$$
の最大値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数の組 $(y(x),z(x))$ で、境界条件
$$y(0)=0,y(1)=1,z(0)=0,z(1)=0$$
と積分制約
$${\int }_0^1(y(x)+2z(x))dx=1$$
を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数
$$J[y,z]={\int }_0^1(y^{\prime }(x{)}^2+z^{\prime }(x{)}^2)dx$$
の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、左端の条件 $$y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$$ を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする（右端 $x=1$ での $y(1)$, $y^{\prime }(1)$ の値は指定しない）。$\mathcal{A}$ 上の汎関数 $$J[y]={\int }_0^1\left(y^{\prime \prime }(x{)}^2-2y(x)\right)dx+3y(1{)}^2$$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,1]$ 上の区分的に連続な実数値関数）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=x(t)+u(t)(0\le t\le 1),x(0)=2$$
のもとで、評価関数
$$J[u]={\int }_0^{1}u(t{)}^{2}dt+x(1{)}^2$$
を最小にする問題を考える（$x(1)$ には制約を課さない）。値関数を $V(t,\xi )=\underset{u}{\inf }\left\{{\int }_t^{1}u(s{)}^{2}ds+x(1{)}^2|x(t)=\xi \right\}$ とし、ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式を用いて、$J[u]$ の最小値 $V(0,2)$ を求めよ。

$xy$ 平面において、区間 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-\sqrt{3})=0$, $y(\sqrt{3})=0$ と、すべての $x\in [-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ で $y(x)\ge 0$ を満たし、グラフの長さが
$${\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=\frac{4\pi }{3}$$
であるものの全体を考える。このとき、グラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積
$$S[y]={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}y(x)dx$$
の最大値を求めよ。

区間 $[1,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、左端の境界条件 $y(1)=0$ だけを満たすもの（右端の値 $y(2)$ は自由）の全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_1^2\left(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2\right)dx-6y(2)$$
の最小値を求めよ。

フィルター付き確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ 上の 1 次元標準ブラウン運動 $W(t)$ を考える。実数値の制御 $u(t)$ は $({\mathcal{F}}_t)$-発展的可測な過程で $$E\left[{\int }_0^{2}u(t{)}^{2}dt\right]<\infty$$ を満たすもの（許容制御）とし、状態 $X(t)$ は確率微分方程式 $$dX(t)=u(t)dt+dW(t)(0\le t\le 2),X(0)=3$$ に従うとする。コスト $$J[u]=E\left[{\int }_0^{2}u(t{)}^{2}dt+X(2{)}^2\right]$$ の、許容制御全体にわたる下限 $\underset{u}{\inf }J[u]$ を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(0)=0$, $y(1)=1$ と積分制約 $${\int }_0^{1}y(x)dx=0$$ を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数 $$J[y]={\int }_0^1{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$ の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

区間 $[1,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、両端の境界条件 $$y(1)=0,y(2)=\frac{7}{4}$$ を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数 $$J[y]={\int }_1^2\left(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2\right)dx$$ の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。2 点 $(-1,0)$, $(1,0)$ に両端を固定した、長さ $2\sinh 1$ の一様な鎖が重力のもとでつり合っている状態を、次の変分問題で考える。

区間 $[-1,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=2\sinh 1$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で、鎖の位置エネルギー（線密度と重力加速度の積を $1$ としたもの）
$$U[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$
の最小値を求めよ。ただし、$U$ を最小にする関数がこの範囲に存在することは認めてよい。

$C^1([0,1])$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値 $C^1$ 級関数全体とし（端点では片側微分を考える）、
$$\mathcal{A}=\left\{y\in C^1([0,1])|y(0)=y(1)=0,{\int }_0^{1}y(x)dx=1\right\}$$
とおく。$y\in \mathcal{A}$ に対して
$$J[y]={\int }_0^1(y^{\prime }(x{)}^2+y(x{)}^2)dx$$
と定める。$e$ を自然対数の底とするとき、

すべての $y\in \mathcal{A}$ に対して $J[y]\ge \frac{e+1}{3-e}$ が成り立ち、等号を成立させる $y\in \mathcal{A}$ がちょうど 1 つ存在する

ことを証明せよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の減衰のある制御系
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=-2x_1(t)-2x_2(t)+u(t)$$
を考える。許容制御とは、ある $T>0$ に対する可測関数 $u:[0,T]\to [0,1]$ のこととし（制御は $0$ 以上 $1$ 以下の値だけをとる）、状態 $x=(x_1,x_2)$ は初期条件 $x(0)=a$ のもとでの（絶対連続な）解とする。ここで $a\in {\mathbb{R}}^2$, $a\ne (0,0)$ は定数である。

$x(T)=(0,0)$ を満たす許容制御のうち、終端時刻 $T$ が最小のもの（時間最適制御）$u^{\ast }:[0,T^{\ast }]\to [0,1]$ が存在すると仮定し、対応する状態を $x^{\ast }$ とする。

次のポントリャーギンの最大原理は用いてよい: $H(x,p,v)=p_1{x}_2+p_2(-2x_1-2x_2+v)-{\lambda }_0$ とおくと、定数 ${\lambda }_0\ge 0$ と絶対連続な $p=(p_1,p_2):[0,T^{\ast }]\to {\mathbb{R}}^2$ が存在して、
- すべての $t\in [0,T^{\ast }]$ で $({\lambda }_0,p_1(t),p_2(t))\ne (0,0,0)$
- ほとんどすべての $t$ で ${\dot{p}}_1=-\frac{\partial H}{\partial x_1}$, ${\dot{p}}_2=-\frac{\partial H}{\partial x_2}$（$(x^{\ast }(t),p(t),u^{\ast }(t))$ で評価）
- ほとんどすべての $t$ で $H(x^{\ast }(t),p(t),u^{\ast }(t))={\max }_{0\le v\le 1}H(x^{\ast }(t),p(t),v)=0$

が成り立つ。また、定数係数の 2 階線形常微分方程式 $\ddot{y}-2\dot{y}+2y=0$ の $C^2$ 級の解が $e^t\cos t,e^t\sin t$ の 1 次結合で尽くされることも用いてよい。

このとき、次の性質をもつ $\sigma \in \{1,-1\}$、整数 $k\ge 0$、実数 $0={\tau }_0<{\tau }_1<\cdots <{\tau }_k<{\tau }_{k+1}=T^{\ast }$ が存在することを証明せよ。
- 各 $i=0,1,\dots ,k$ について、開区間 $({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$ 上ほとんどいたるところで $u^{\ast }(t)=\frac{1+(-1{)}^i\sigma }{2}$ である（すなわち $u^{\ast }$ は区間ごとに値 $1$ と $0$ を交互にとる）。
- すべての $i=0,1,\dots ,k$ について ${\tau }_{i+1}-{\tau }_i\le \pi$ である。
- $1\le i\le k-1$ を満たすすべての $i$ について ${\tau }_{i+1}-{\tau }_i=\pi$ である（$k\le 1$ のときはこの条件は課さない）。

$I\subset \mathbb{R}$ を空でない開区間とし、汎関数
$$J[y]=\int \sqrt{y}\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
のラグランジアン $L(y,p)=\sqrt{y}\sqrt{1+p^2}$（$y>0$, $p\in \mathbb{R}$ で定義する）を考える。$y\in C^2(I)$ が $I$ 上で $y(x)>0$ を満たし、オイラー・ラグランジュ方程式
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial p}(y(x),y^{\prime }(x))\right)=\frac{\partial L}{\partial y}(y(x),y^{\prime }(x))(x\in I)$$
を満たすとする。このとき、定数 $c>0$ と $b\in \mathbb{R}$ が存在して、すべての $x\in I$ で
$$y(x)=c+\frac{(x-b{)}^2}{4c}$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、常微分方程式の解の一意性定理（$F(y,p)$ が開集合 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上で $C^1$ 級のとき、$y^{\prime \prime }=F(y,y^{\prime })$ の区間 $I$ 上の 2 つの $C^2$ 級解 $y,\tilde{y}$ が、$(y,y^{\prime }),(\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime })$ ともに $I$ 上で $D$ に値をとり、ある $x_0\in I$ で $(y(x_0),y^{\prime }(x_0))=(\tilde{y}(x_0),{\tilde{y}}^{\prime }(x_0))$ を満たすならば、$I$ 上で $y=\tilde{y}$）は用いてよい。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとる。重力加速度の大きさを $g>0$ とし、直線
$$\ell :y=\sqrt{3}(2\pi -x)$$
を考える。

正の数 $x_1$ と、区間 $[0,x_1]$ 上の実数値関数 $y(x)$ が次の条件をすべて満たすとする。

- $y$ は $[0,x_1]$ で連続で、$(0,x_1]$ で $C^1$ 級である。
- $y(0)=0$ であり、$0<x\le x_1$ で $y(x)>0$ である。
- 終点 $(x_1,y(x_1))$ は直線 $\ell$ 上にある（$x_1$ は固定しない）。
- 次の積分が有限である。
$$T[y]={\int }_0^{x_1}\sqrt{\frac{1+y^{\prime }(x{)}^2}{2gy(x)}}dx$$

$T[y]$ は、原点に静止させた質点が曲線 $y=y(x)$ に沿って摩擦なく滑り、直線 $\ell$ に到達するまでの時間である。このような $(x_1,y)$ 全体にわたる $T[y]$ の最小値を、$g$ を用いて表せ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $c(t)$ について考える。$c$ は $[0,\infty )$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t\ge 0$ で $c(t)\ge 0$ を満たすとする。状態方程式と初期条件を
$$\dot{x}(t)=2x(t)-c(t)(t\ge 0),x(0)=5$$
とし、状態制約として、すべての $t\ge 0$ で $x(t)\ge 0$ を課す。このような制御 $c$ 全体の上で、評価汎関数
$$J[c]={\int }_0^{\infty }{e}^{-3t}\sqrt{c(t)}dt$$
の上限 $\sup J[c]$ を求めよ。ただし、被積分関数は非負なので、$J[c]$ は $\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_0^T{e}^{-3t}\sqrt{c(t)}dt$（$+\infty$ も許す）と定める。

$L=\frac{3}{2\log 2}$ とする。区間 $[-1,1]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=L$$
を満たすもの全体を考える（$L>2$ である）。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$
（一様な鎖の位置エネルギーに比例する量）は最小値をもつことが知られている。$J[y]$ の最小値を求めよ。

$xy$ 平面（$y$ 軸は鉛直上向き）において、区間 $[-1,1]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約 $${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=e-e^{-1}$$ を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする（これは、長さ $e-e^{-1}$ の一様な鎖を 2 点 $(-1,0)$, $(1,0)$ から吊るす状況に対応する）。鎖の位置エネルギーに比例する汎関数 $$U[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$ の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。ただし、$U$ が $\mathcal{A}$ において最小値をとる関数が存在すること、および最小を与える関数がオイラー・ラグランジュ方程式（ラグランジュ乗数つき）の解となるだけの滑らかさをもつことは認めてよい。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,1]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le \frac{1}{2}$ を満たす）について、状態方程式 $$\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)(0\le t\le 1),x(0)=0$$ を考える（終端値 $x(1)$ は自由）。評価関数 $$J[u]={\int }_0^1\frac{u(t{)}^2}{2}dt-x(1)$$ の最小値を求めよ。

$T=\frac{1}{2}\log 3$ とする。実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,T]$ 上の区分的に連続な実数値関数）について、状態方程式 $$\dot{x}(t)=u(t)(0\le t\le T),x(0)=3$$ を考える（終端値 $x(T)$ は自由）。評価関数 $$J[u]={\int }_0^T\left(x(t{)}^2+u(t{)}^2\right)dt+\frac{1}{2}x(T{)}^2$$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x_1(t)$, $x_2(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,2]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $|u(t)|\le \frac{1}{2}$ を満たす）について、状態方程式 $${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=u(t)(0\le t\le 2),$$ 初期条件 $x_1(0)=0$, $x_2(0)=0$ を考える（終端の状態は自由）。評価関数 $$J[u]=x_1(2)-\frac{1}{2}{x}_2(2{)}^2-{\int }_0^{2}u(t{)}^{2}dt$$ の最大値を求めよ。