変分法・最適制御の問題

$T=\frac{1}{2}\log 2$ とする。実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,T]$ 上の区分的に連続な実数値関数）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)(0\le t\le T),x(0)=5$$
のもとで、評価関数
$$J[u]={\int }_0^{T}u(t{)}^{2}dt+x(T{)}^2$$
を考える。$J[u]$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,1]$ 上の区分的に連続な実数値関数）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=x(t)+u(t)(0\le t\le 1),x(0)=2$$
のもとで、評価関数
$$J[u]={\int }_0^{1}u(t{)}^{2}dt+x(1{)}^2$$
を最小にする問題を考える（$x(1)$ には制約を課さない）。値関数を $V(t,\xi )=\underset{u}{\inf }\left\{{\int }_t^{1}u(s{)}^{2}ds+x(1{)}^2|x(t)=\xi \right\}$ とし、ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式を用いて、$J[u]$ の最小値 $V(0,2)$ を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$ を考える。$u$ は $[0,1]$ 上の区分的に連続な実数値関数で、値に制約はないとする。状態方程式と初期条件を
$$\dot{x}(t)=x(t)+u(t),x(0)=1$$
とし（終端 $x(1)$ は自由）、評価関数
$$J[u]={\int }_0^{1}u(t{)}^{2}dt+x(1{)}^2$$
を考える。$J[u]$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,\infty )$ 上の区分的に連続な実数値関数）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=u(t)(t\ge 0),x(0)=2$$
と割引つき評価関数
$$J[u]={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}\left(x(t{)}^2+u(t{)}^2\right)dt$$
を考える。$J[u]$ が有限となる制御 $u$ 全体の中での $J[u]$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,3]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たす）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=2u(t)x(t)(0\le t\le 3),x(0)=1$$
を考える（終端 $x(3)$ は自由）。汎関数
$$J[u]={\int }_0^3(1-u(t))x(t)dt$$
を最大にする制御が存在することは認めてよい。ポントリャーギンの最大原理を用いて、$J[u]$ の最大値を求めよ。