ベルマン最適方程式と最適価値

ある人の体調は、毎日のはじめに「元気」（状態 $1$）か「疲労」（状態 $2$）のどちらかである。毎日のはじめに体調を見て行動を $1$ つ選ぶと、その日の報酬（満足度）が得られ、翌日のはじめの状態が次の確率で決まる。

• 状態 $1$ で行動「働く」：報酬 $4$。翌日は確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $1$、確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $2$。
• 状態 $1$ で行動「休む」：報酬 $3$。翌日は確率 $1$ で状態 $1$。
• 状態 $2$ で行動「休む」（選べる行動はこれだけ）：報酬 $0$。翌日は確率 $1$ で状態 $1$。

割引率を $\gamma =\frac{1}{2}$ とし、無限に続く期間の期待割引総報酬を最大にする。最適価値 $V^{\ast }(s)$ は
$$V^{\ast }(s)=\underset{a}{\max }\{r(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)V^{\ast }(s^{\prime })\}$$
を満たす。状態 $1$ から始めたときの最適価値 $V^{\ast }(1)$ を求めよ。

ある大学生の体調は、毎日のはじめに「元気」（状態 $1$）か「疲労」（状態 $2$）のどちらかである。毎日のはじめに体調を見て行動を $1$ つ選ぶと、その日の報酬が得られ、翌日のはじめの状態が次の確率で決まる。

• 状態 $1$ で行動「長時間アルバイト」：報酬 $6$。翌日は確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $1$、確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $2$
• 状態 $1$ で行動「短時間アルバイト」：報酬 $4$。翌日は確率 $1$ で状態 $1$
• 状態 $2$ で行動「休養」（状態 $2$ で選べる行動はこれだけ）：報酬 $0$。翌日は確率 $1$ で状態 $1$

割引率を $\gamma =\frac{1}{2}$ とし、無限期間の期待割引総報酬を最大化する。最適価値 $V^{\ast }(s)$ はベルマン最適方程式
$$V^{\ast }(s)=\underset{a}{\max }\left\{r(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)V^{\ast }(s^{\prime })\right\}$$
を満たす。最適価値 $V^{\ast }(1)$, $V^{\ast }(2)$ をこの順に組で求めよ。

ある掃除ロボットのバッテリーの状態は、各時刻 $t=0,1,2,\dots$ に「十分」（状態 $1$）か「残りわずか」（状態 $2$）のどちらかである。各時刻に状態を見て行動を $1$ つ選ぶと、その時刻の報酬が得られ、次の時刻の状態が次の確率で決まる。

• 状態 $1$ で行動「通常掃除」：報酬 $4$。次の状態は確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $1$、確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $2$。
• 状態 $1$ で行動「待機」：報酬 $1$。次の状態は確率 $1$ で状態 $1$。
• 状態 $2$ で行動「充電」：報酬 $0$。次の状態は確率 $1$ で状態 $1$。
• 状態 $2$ で行動「省電力掃除」：報酬 $2$。次の状態は確率 $1$ で状態 $2$。

割引率を $\gamma =\frac{1}{2}$ とし、状態 $s$ から始めたときの期待割引総報酬の最大値（最適価値）を $V^{\ast }(s)$ とする。$V^{\ast }$ はベルマン最適方程式
$$V^{\ast }(s)=\underset{a}{\max }\{r(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)V^{\ast }(s^{\prime })\}$$
を満たす。$V^{\ast }(1)$ と $V^{\ast }(2)$ をこの順に組 $(V^{\ast }(1),V^{\ast }(2))$ で求めよ。

状態が $1,2$ の 2 つであるマルコフ決定過程を考える。各時刻に、現在の状態で行動を 1 つ選ぶと、即時報酬を受け取り、次の状態へ確率的に遷移する。行動・報酬・遷移確率は次のとおりである。

• 状態 $1$ で行動 $a$：報酬 $1$ を受け取り、確率 $1$ で状態 $1$ にとどまる。
• 状態 $1$ で行動 $b$：報酬 $0$ を受け取り、確率 $1$ で状態 $2$ へ移る。
• 状態 $2$ で行動 $c$：報酬 $4$ を受け取り、確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $2$ にとどまり、確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $1$ へ移る。
• 状態 $2$ で行動 $d$：報酬 $2$ を受け取り、確率 $1$ で状態 $2$ にとどまる。

割引率を $\gamma =\frac{1}{2}$ とし、無限期間の期待割引総報酬 $E\left[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{r}_t\right]$（$r_t$ は時刻 $t$ の報酬）を最大化する。状態 $1$ から始めたときの最適価値 $V^{\ast }(1)$ を求めよ。

ある工場の機械の状態は、各期のはじめに「良好」「劣化」「故障」のいずれかである。各期のはじめに機械の状態を見て行動を 1 つ選ぶと、その期の利益（負の値は費用）が得られ、次の期のはじめの状態が次の確率で決まる。

• 良好のとき：行動は「運転」だけである。利益 $10$ を得て、次の期は確率 $\frac{7}{10}$ で良好、確率 $\frac{3}{10}$ で劣化になる。
• 劣化のとき：「運転」か「修理」を選ぶ。
• 運転：利益 $6$ を得て、次の期は確率 $\frac{1}{2}$ で劣化、確率 $\frac{1}{2}$ で故障になる。
• 修理：利益 $-2$ を得て、次の期は確率 $1$ で良好になる。
• 故障のとき：行動は「交換」だけである。利益 $-8$ を得て、次の期は確率 $1$ で良好になる。

第 $1$ 期のはじめに機械が良好であるとき、第 $1$ 期から第 $3$ 期までの $3$ 期間の利益の合計の期待値を最大にするように各期の行動を選ぶ。第 $3$ 期の終わりの機械の状態には価値がない（$0$ とする）ものとし、割引は行わない。このとき、利益の合計の期待値の最大値を求めよ。

有限集合 $S$ を状態の集合、有限集合 $A$ を行動の集合とする（ともに空でない）。各 $s\in S,a\in A$ に対して遷移確率 $p(s^{\prime }\mid s,a)\ge 0$（${\sum }_{s^{\prime }\in S}p(s^{\prime }\mid s,a)=1$）が与えられ、割引率 $\gamma$ は $0<\gamma <1$ を満たすとする。

2 つの報酬関数 $r,r^{\prime }:S\times A\to \mathbb{R}$ が、すべての $s\in S,a\in A$ で $r(s,a)\le r^{\prime }(s,a)$ を満たすとし、
$$\delta =\underset{s\in S,a\in A}{\max }(r^{\prime }(s,a)-r(s,a))$$
とおく。関数 $W,U:S\to \mathbb{R}$ はそれぞれ、報酬 $r$, $r^{\prime }$ に対するベルマン最適方程式
$$W(s)=\underset{a\in A}{\max }\{r(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in S}p(s^{\prime }\mid s,a)W(s^{\prime })\},U(s)=\underset{a\in A}{\max }\{r^{\prime }(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }\in S}p(s^{\prime }\mid s,a)U(s^{\prime })\}(s\in S)$$
を満たすとする（このような $W$, $U$ が存在することは用いてよい）。

すべての $s\in S$ について
$$0\le U(s)-W(s)\le \frac{\delta }{1-\gamma }$$
が成り立つことを証明せよ。

状態が $1,2,3$ の $3$ つであるマルコフ決定過程を考える。各時刻 $t=0,1,2,\dots$ に現在の状態を見て行動を $1$ つ選ぶと、その時刻の報酬を受け取り、次の時刻の状態が次の確率で決まる（$p_{ij}$ は状態 $i$ から状態 $j$ へ遷移する確率）。

• 状態 $1$ で行動 $a$：報酬 $2$、$(p_{11},p_{12},p_{13})=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$
• 状態 $1$ で行動 $b$：報酬 $0$、$(p_{11},p_{12},p_{13})=(0,0,1)$
• 状態 $2$ で行動 $a$：報酬 $4$、$(p_{21},p_{22},p_{23})=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},0\right)$
• 状態 $2$ で行動 $b$：報酬 $1$、$(p_{21},p_{22},p_{23})=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$
• 状態 $3$ で行動 $c$（選べる行動はこれのみ）：報酬 $6$、$(p_{31},p_{32},p_{33})=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$

方策 $\pi$ のもとで時刻 $t$ に得る報酬を $R_t$ とし、初期状態 $i$ からの長期平均報酬を
$$g^{\pi }(i)=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}{E}^{\pi }\left[\sum _{t=0}^{N-1}{R}_t|X_0=i\right]$$
で定める。この長期平均報酬のすべての方策にわたる最大値（最適平均報酬）を求めよ。なお、状態と行動が有限のこのマルコフ決定過程では、最適な方策が定常な決定的方策（各状態で常に同じ行動を選ぶ方策）の中に存在し、その最適平均報酬は初期状態によらないことを用いてよい。

倉庫内を移動する配送ロボットを考える。ロボットの位置は、各時刻に地点 $1$、地点 $2$、出口 $G$ のいずれかであり、出口 $G$ に着いた時点で移動は終了する。地点 $1,2$ では、各時刻に行動を $1$ つ選ぶと、その時刻の費用がかかり、次の時刻の位置が次の確率で決まる。

• 地点 $1$ で行動 $a$：費用 $2$、確率 $1$ で地点 $2$ へ
• 地点 $1$ で行動 $b$：費用 $1$、確率 $\frac{1}{5}$ で出口 $G$ へ、確率 $\frac{3}{5}$ で地点 $1$ にとどまり、確率 $\frac{1}{5}$ で地点 $2$ へ
• 地点 $2$ で行動 $c$：費用 $5$、確率 $1$ で出口 $G$ へ
• 地点 $2$ で行動 $d$：費用 $1$、確率 $\frac{1}{3}$ で出口 $G$ へ、確率 $\frac{2}{3}$ で地点 $1$ へ

遷移はマルコフ性をもち、行動は各時刻の位置を見て選べる。地点 $1$ から出発して出口 $G$ に着くまでにかかる費用の合計（割引なし）の期待値を、行動の選び方（方策）全体にわたって最小化したときの最小値を求めよ。

ある工場の機械は、各期のはじめに「良好」（状態 $1$）、「劣化」（状態 $2$）、「故障」（状態 $3$）のいずれかの状態にある。各期のはじめに状態を観測して行動を $1$ つ選ぶ。行動を選ぶと、その期の費用がかかる。次の期のはじめの状態は、現在の状態と選んだ行動だけで、次の確率で決まる。

• 状態 $1$：
• 行動「運転」：費用 $0$。次の状態は確率 $\frac{3}{4}$ で $1$、確率 $\frac{1}{4}$ で $2$。
• 行動「予防点検」：費用 $\frac{3}{2}$。次の状態は確率 $1$ で $1$。
• 状態 $2$：
• 行動「運転」：費用 $2$。次の状態は確率 $\frac{1}{2}$ で $2$、確率 $\frac{1}{2}$ で $3$。
• 行動「修理」：費用 $9$。次の状態は確率 $1$ で $1$。
• 状態 $3$：
• 行動「交換」（これしか選べない）：費用 $10$。次の状態は確率 $1$ で $1$。

第 $t$ 期（$t=0,1,2,\dots$）にかかる費用を $c_t$ とし、割引率を $\beta =\frac{4}{5}$ とする。無限期間の期待割引総費用 $E\left[\sum _{t=0}^{\infty }{\beta }^t{c}_t\right]$ を最小にするように行動を選ぶとき、第 $0$ 期のはじめの状態が $1$ である場合の期待割引総費用の最小値 $V^{\ast }(1)$ を求めよ。

ある農家の畑の状態は、各期のはじめに「やせ地」（状態 $1$）か「肥沃地」（状態 $2$）のどちらかである。各期のはじめに状態を見て行動を 1 つ選ぶと、その期の報酬が得られ、次の期のはじめの状態が次の確率で決まる。

• 状態 $1$ で行動「耕作」：報酬 $1$、次の状態は確率 $1$ で状態 $1$
• 状態 $1$ で行動「土壌改良」：報酬 $0$、次の状態は確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $1$、確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $2$
• 状態 $2$ で行動「集約栽培」：報酬 $3$、次の状態は確率 $\frac{3}{4}$ で状態 $2$、確率 $\frac{1}{4}$ で状態 $1$
• 状態 $2$ で行動「休耕併用」：報酬 $2$、次の状態は確率 $1$ で状態 $2$

割引率を $\gamma =\frac{4}{5}$ とし、無限期間にわたる割引総報酬の期待値 $E\left[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{r}_t\right]$（$r_t$ は第 $t$ 期の報酬）を最大化する。状態 $1$ から始めたときの最適価値 $V^{\ast }(1)$ と、状態 $2$ から始めたときの最適価値 $V^{\ast }(2)$ を、この順に組 $(V^{\ast }(1),V^{\ast }(2))$ で求めよ。

ある小売店の売り場は、各期のはじめに「通常」（状態 $1$）か「繁盛」（状態 $2$）のどちらかの状態にある。各期のはじめに状態を見て行動を 1 つ選ぶと、その期の報酬が得られ、次の期のはじめの状態が次の確率で決まる。

• 状態 $1$ で行動「通常営業」: 報酬 $4$。次の期は確率 $\frac{4}{5}$ で状態 $1$、確率 $\frac{1}{5}$ で状態 $2$。
• 状態 $1$ で行動「宣伝」: 報酬 $1$。次の期は確率 $1$ で状態 $2$。
• 状態 $2$ で行動「値上げ」: 報酬 $10$。次の期は確率 $1$ で状態 $1$。
• 状態 $2$ で行動「維持」: 報酬 $8$。次の期は確率 $\frac{4}{5}$ で状態 $2$、確率 $\frac{1}{5}$ で状態 $1$。

第 $t$ 期（$t=1,2,\dots$）の報酬を $R_t$ とする。過去の状態と行動の履歴に基づいて行動を選ぶ規則（方策）$\pi$ に対し、長期平均報酬を
$$g^{\pi }=\underset{N\to \infty }{\mathrm{liminf}}\frac{1}{N}{E}^{\pi }\left[\sum _{t=1}^N{R}_t\right]$$
で定める。すべての方策の中での $g^{\pi }$ の最大値を求めよ（この値は第 $1$ 期の状態によらない）。