オペレーションズ・リサーチの問題

ある工場の機械は、各期のはじめに「良好」（状態 $1$）、「劣化」（状態 $2$）、「故障」（状態 $3$）のいずれかの状態にある。各期のはじめに状態を観測して行動を $1$ つ選ぶ。行動を選ぶと、その期の費用がかかる。次の期のはじめの状態は、現在の状態と選んだ行動だけで、次の確率で決まる。

• 状態 $1$：
• 行動「運転」：費用 $0$。次の状態は確率 $\frac{3}{4}$ で $1$、確率 $\frac{1}{4}$ で $2$。
• 行動「予防点検」：費用 $\frac{3}{2}$。次の状態は確率 $1$ で $1$。
• 状態 $2$：
• 行動「運転」：費用 $2$。次の状態は確率 $\frac{1}{2}$ で $2$、確率 $\frac{1}{2}$ で $3$。
• 行動「修理」：費用 $9$。次の状態は確率 $1$ で $1$。
• 状態 $3$：
• 行動「交換」（これしか選べない）：費用 $10$。次の状態は確率 $1$ で $1$。

第 $t$ 期（$t=0,1,2,\dots$）にかかる費用を $c_t$ とし、割引率を $\beta =\frac{4}{5}$ とする。無限期間の期待割引総費用 $E\left[\sum _{t=0}^{\infty }{\beta }^t{c}_t\right]$ を最小にするように行動を選ぶとき、第 $0$ 期のはじめの状態が $1$ である場合の期待割引総費用の最小値 $V^{\ast }(1)$ を求めよ。

状態が $1,2$ の 2 つであるマルコフ決定過程を考える。各時刻に、現在の状態で行動を 1 つ選ぶと、即時報酬を受け取り、次の状態へ確率的に遷移する。行動・報酬・遷移確率は次のとおりである。

• 状態 $1$ で行動 $a$：報酬 $1$ を受け取り、確率 $1$ で状態 $1$ にとどまる。
• 状態 $1$ で行動 $b$：報酬 $0$ を受け取り、確率 $1$ で状態 $2$ へ移る。
• 状態 $2$ で行動 $c$：報酬 $4$ を受け取り、確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $2$ にとどまり、確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $1$ へ移る。
• 状態 $2$ で行動 $d$：報酬 $2$ を受け取り、確率 $1$ で状態 $2$ にとどまる。

割引率を $\gamma =\frac{1}{2}$ とし、無限期間の期待割引総報酬 $E\left[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{r}_t\right]$（$r_t$ は時刻 $t$ の報酬）を最大化する。状態 $1$ から始めたときの最適価値 $V^{\ast }(1)$ を求めよ。

ある人の体調は、毎日のはじめに「元気」（状態 $1$）か「疲労」（状態 $2$）のどちらかである。毎日のはじめに体調を見て行動を $1$ つ選ぶと、その日の報酬（満足度）が得られ、翌日のはじめの状態が次の確率で決まる。

• 状態 $1$ で行動「働く」：報酬 $4$。翌日は確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $1$、確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $2$。
• 状態 $1$ で行動「休む」：報酬 $3$。翌日は確率 $1$ で状態 $1$。
• 状態 $2$ で行動「休む」（選べる行動はこれだけ）：報酬 $0$。翌日は確率 $1$ で状態 $1$。

割引率を $\gamma =\frac{1}{2}$ とし、無限に続く期間の期待割引総報酬を最大にする。最適価値 $V^{\ast }(s)$ は
$$V^{\ast }(s)=\underset{a}{\max }\{r(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)V^{\ast }(s^{\prime })\}$$
を満たす。状態 $1$ から始めたときの最適価値 $V^{\ast }(1)$ を求めよ。

ある農家の畑の状態は、各期のはじめに「やせ地」（状態 $1$）か「肥沃地」（状態 $2$）のどちらかである。各期のはじめに状態を見て行動を 1 つ選ぶと、その期の報酬が得られ、次の期のはじめの状態が次の確率で決まる。

• 状態 $1$ で行動「耕作」：報酬 $1$、次の状態は確率 $1$ で状態 $1$
• 状態 $1$ で行動「土壌改良」：報酬 $0$、次の状態は確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $1$、確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $2$
• 状態 $2$ で行動「集約栽培」：報酬 $3$、次の状態は確率 $\frac{3}{4}$ で状態 $2$、確率 $\frac{1}{4}$ で状態 $1$
• 状態 $2$ で行動「休耕併用」：報酬 $2$、次の状態は確率 $1$ で状態 $2$

割引率を $\gamma =\frac{4}{5}$ とし、無限期間にわたる割引総報酬の期待値 $E\left[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{r}_t\right]$（$r_t$ は第 $t$ 期の報酬）を最大化する。状態 $1$ から始めたときの最適価値 $V^{\ast }(1)$ と、状態 $2$ から始めたときの最適価値 $V^{\ast }(2)$ を、この順に組 $(V^{\ast }(1),V^{\ast }(2))$ で求めよ。

ある会員制サービスの会員は、各週のはじめに「利用中」（状態 $1$）か「休眠中」（状態 $2$）のどちらかの状態にある。運営会社は各週のはじめに会員の状態を見て施策を $1$ つ選ぶ。ここでは方策を次のように固定する。

• 状態 $1$ では「お知らせメールを送る」。このとき、その週の利益は $10$ であり、次の週のはじめの状態は確率 $\frac{3}{4}$ で状態 $1$、確率 $\frac{1}{4}$ で状態 $2$ になる。
• 状態 $2$ では「割引クーポンを送る」。このとき、その週の利益は $2$ であり、次の週のはじめの状態は確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $1$、確率 $\frac{1}{2}$ で状態 $2$ になる。

割引率を $\gamma =0.8$ とし、状態 $s$ から始めたときのこの方策による期待割引総利益（第 $t$ 週（$t=0,1,2,\dots$）の利益に ${\gamma }^t$ を掛けて足し合わせたものの期待値）を $V(s)$ とする。$V(1)$ と $V(2)$ をこの順に求めよ。