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変分法・最適制御の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学変分法・最適制御

実数値の状態 $x (t)$ と制御 $u (t)$ （ $u$ は $[0, 3]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0 \leq u (t) \leq 1$ を満たす）について、状態方程式
$x ˙ (t) = 2 u (t) x (t) (0 \leq t \leq 3), x (0) = 1$
を考える（終端 $x (3)$ は自由）。汎関数
$J [u] = \int_{0}^{3} (1 - u (t)) x (t) d t$
を最大にする制御が存在することは認めてよい。ポントリャーギンの最大原理を用いて、 $J [u]$ の最大値を求めよ。

この問題で使うもの

ポントリャーギンの最大原理（説明と入口の問題）
制御に制約のある最適制御（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ハミルトニアン $H = (1 - u) x + 2 p ux$ をつくり、 $u$ について 1 次式であることに注目しましょう。 $x > 0$ なので、 $u$ の係数 $x (2 p - 1)$ の符号で最適な $u$ が決まります。

ヒント 2

随伴方程式 $p ˙ = - (1 - u) - 2 p u$ と横断条件 $p (3) = 0$ を使い、終端 $t = 3$ から時間を逆にたどって $p$ を求めます。

ヒント 3

終端付近では $u = 0$ 、 $p = 3 - t$ で、 $p = \frac{1}{2}$ となる時刻で切り替わります。それより前は $u = 1$ で $x = e^{2 t}$ です。

答えと解説

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\frac{e ^{5}}{2}

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解説を読む

ハミルトニアンと随伴方程式

$x (0) = 1 > 0$ と $x ˙ = 2 ux$ より $x (t) = exp (\int_{0}^{t} 2 u d s) > 0$ である。随伴変数を $p (t)$ とし、ハミルトニアンを
$H (x, u, p) = (1 - u) x + p \cdot 2 ux = x + u x (2 p - 1)$
とおく（正規の場合。終端が自由で最大化問題なので被積分関数の係数を $1$ としてよい）。随伴方程式と横断条件は
$p ˙ = - \frac{\partial H}{\partial x} = - (1 - u) - 2 p u, p (3) = 0.$

最大化条件

$H$ は $u$ について 1 次で、 $x > 0$ なので、 $H$ を最大にする $u \in [0, 1]$ は
$u (t) = {10 (2 p (t) - 1 > 0) (2 p (t) - 1 < 0)$
である（バンバン制御）。

終端から逆にたどる

$p (3) = 0$ より終端付近では $2 p - 1 < 0$ なので $u = 0$ 。このとき $p ˙ = - 1$ で、 $p (t) = 3 - t$ 。 $2 p - 1 = 0$ となるのは $t = \frac{5}{2}$ である。

$t < \frac{5}{2}$ では（その直前で $2 p - 1 > 0$ なので） $u = 1$ となり、 $p ˙ = - 2 p$ 、 $p (t) = \frac{1}{2} e^{2 (5/2 - t)} = \frac{1}{2} e^{5 - 2 t}$ 。これは $t < \frac{5}{2}$ で $p > \frac{1}{2}$ を保つので、それ以前に切り替えは起こらない。

よって最適制御は
$u^{*} (t) = {10 (0 \leq t < \frac{5}{2}) (\frac{5}{2} < t \leq 3) .$

最大値

$0 \leq t \leq \frac{5}{2}$ で $x ˙ = 2 x$ より $x (t) = e^{2 t}$ 、 $x (\frac{5}{2}) = e^{5}$ 。 $\frac{5}{2} \leq t \leq 3$ では $u = 0$ で $x$ は $e^{5}$ のまま一定。 $u = 1$ の区間では被積分関数は $0$ なので
$J [u^{*}] = \int_{5/2}^{3} e^{5} d t = \frac{1}{2} e^{5} .$

（確認：切り替え時刻を $s$ とすると $J = (3 - s) e^{2 s}$ で、 $\frac{d}{d s} [(3 - s) e^{2 s}] = (5 - 2 s) e^{2 s} = 0$ より $s = \frac{5}{2}$ となり一致する。）

したがって最大値は $\frac{e ^{5}}{2}$ である。

別解

ハミルトニアンを $H = λ_{0} (1 - u) x + 2 p ux$ （ $λ_{0} \in {0, 1}$ ）とする。終端 $x (3)$ が自由なので横断性条件は $p (3) = 0$ 。 $λ_{0} = 0$ とすると $p^{'} = - 2 u p$ , $p (3) = 0$ より $p \equiv 0$ となり $(λ_{0}, p) \neq = 0$ に反するので $λ_{0} = 1$ 。

このとき $H = x [1 + u (2 p - 1)]$ 。 $x (t) > 0$ （ $x^{'} = 2 ux$ , $x (0) = 1$ より $x = exp (2 \int_{0}^{t} u) \geq 1$ ）なので、 $H$ を $u \in [0, 1]$ について最大にする制御は $2 p - 1 > 0$ のとき $u = 1$ 、 $2 p - 1 < 0$ のとき $u = 0$ 。

随伴方程式: $p^{'} = - \partial H / \partial x = - (1 - u) - 2 u p$ , $p (3) = 0$ 。

$t = 3$ 付近では $p \approx 0 < 1/2$ なので $u = 0$ で、 $p^{'} = - 1$ より $p (t) = 3 - t$ 。これが $1/2$ に達するのは $t = 5/2$ 。 $t < 5/2$ では $p > 1/2$ となるはずなので $u = 1$ とすると $p^{'} = - 2 p$ , $p (5/2) = 1/2$ より $p (t) = \frac{1}{2} e^{2 (5/2 - t)} > \frac{1}{2}$ で整合する。よって最適制御は
$u^{*} (t) = 1 (0 \leq t \leq 5/2)$ , $u^{*} (t) = 0 (5/2 < t \leq 3)$ 。

このとき $x (t) = e^{2 t}$ $(t \leq 5/2)$ , $x (t) = e^{5}$ $(t > 5/2)$ 。
$J = \int_{0}^{5/2} 0 d t + \int_{5/2}^{3} e^{5} d t = \frac{e ^{5}}{2}$ 。

検算: 切替時刻 $s$ で $u = 1$ から $u = 0$ に切り替える制御では $J (s) = (3 - s) e^{2 s}$ 。 $J^{'} (s) = e^{2 s} (5 - 2 s) = 0$ より $s = 5/2$ で最大、 $J (5/2) = e^{5} /2 \approx 74.2$ 。（ $u \equiv 0$ なら $J = 3$ , $u \equiv 1$ なら $J = 0$ でいずれも小さい。）

最大値は $e^{5} /2$ 。

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