変分法・最適制御の問題

最大原理. ハミルトニアンを $$H={\lambda }_1{x}_2+{\lambda }_{2}u-u^2$$ とする（最大化問題なので $H$ を最大にする $u$ を選ぶ）。随伴方程式と横断条件（終端自由、終端項 $\varphi =x_1-\frac{1}{2}{x}_2^2$）は $${\dot{\lambda }}_1=-\frac{\partial H}{\partial x_1}=0,{\dot{\lambda }}_2=-\frac{\partial H}{\partial x_2}=-{\lambda }_1,{\lambda }_1(2)=\frac{\partial \varphi }{\partial x_1}=1,{\lambda }_2(2)=\frac{\partial \varphi }{\partial x_2}=-x_2(2).$$ $v=x_2(2)$ とおくと ${\lambda }_1\equiv 1$, ${\lambda }_2(t)=2-t-v$。

$H$ を $|u|\le \frac{1}{2}$ で最大にする $u$ は、${\lambda }_{2}u-u^2$ が $u=\frac{{\lambda }_2}{2}$ を頂点とする上に凸な放物線なので $$u(t)=\mathrm{clip}\left(\frac{2-t-v}{2}\right)(\text{区間}[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\text{に切り詰めたもの}).$$

$v$ の決定. $0<v<1$ と仮定すると、$\frac{2-t-v}{2}\ge \frac{1}{2}⟺t\le 1-v$、また $t=2$ で $\frac{-v}{2}>-\frac{1}{2}$ なので、 $$u(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}& (0\le t\le 1-v)\\ \frac{2-t-v}{2}& (1-v\le t\le 2)\end{array}.$$ $v=x_2(2)={\int }_0^{2}udt$ より、$s=2-t-v$ と置換して $$v=\frac{1-v}{2}+\frac{1}{2}{\int }_{-v}^{1}sds=\frac{1-v}{2}+\frac{1-v^2}{4}.$$ 整理すると $v^2+6v-3=0$、$0<v<1$ の解は $v=2\sqrt{3}-3$（$\approx 0.464$）で、仮定と整合する。

$J$ の計算. $x_2(t)={\int }_0^{t}u$, $x_1(2)={\int }_0^2(2-t)u(t)dt$ である。$a=1-v$ とおく。
- $[0,a]$: ${\int }_0^a\frac{2-t}{2}dt=a-\frac{a^2}{4}$, ${\int }_0^a{u}^{2}dt=\frac{a}{4}$
- $[a,2]$: $2-t=s+v$, $u=\frac{s}{2}$ より $\int (2-t)udt=\frac{1}{2}{\int }_{-v}^1(s^2+vs)ds=\frac{1+v^3}{6}+\frac{v(1-v^2)}{4}$, $\int u^{2}dt=\frac{1}{4}{\int }_{-v}^1{s}^{2}ds=\frac{1+v^3}{12}$

よって $$J=a-\frac{a^2}{4}-\frac{a}{4}+\frac{1+v^3}{6}+\frac{v-v^3}{4}-\frac{1+v^3}{12}-\frac{v^2}{2}.$$ $a=1-v$ を代入して整理すると $$J=\frac{2-v-v^2}{4}+\frac{1+v^3}{12}+\frac{v-v^3}{4}-\frac{v^2}{2}=\frac{7-9v^2-2v^3}{12}.$$ $v^2=3-6v$ より $v^3=3v-6v^2=39v-18$ なので $$J=\frac{7-9(3-6v)-2(39v-18)}{12}=\frac{16-24v}{12}=\frac{4-6v}{3}.$$ $v=2\sqrt{3}-3$ を代入して $$J=\frac{4-12\sqrt{3}+18}{3}=\frac{22}{3}-4\sqrt{3}(\approx 0.405).$$

最大であることの確認. 状態は $u$ について線形なので、$J$ は $u$ について（狭義）凹な汎関数で、許容制御の集合は凸である。したがって最大原理の条件を満たす制御は最大を与え、しかも一意である。

答えは $\frac{22}{3}-4\sqrt{3}$ である。

状態方程式から $x_2(2)={\int }_0^{2}udt=:m$、$x_1(2)={\int }_0^2(2-t)u(t)dt$。よって $J[u]={\int }_0^2(2-t)udt-\frac{1}{2}{\left({\int }_0^{2}udt\right)}^2-{\int }_0^2{u}^{2}dt$ で、これは $u$ について凹（2 次形式部分が負定値）なので、最大値の必要条件（ポントリャーギンの最大原理）を満たす制御が最適である。

ハミルトン関数 $H=p_1{x}_2+p_{2}u-u^2$、終端コスト $\phi =x_1-\frac{1}{2}{x}_2^2$。随伴方程式 ${\dot{p}}_1=0,{\dot{p}}_2=-p_1$、横断性条件 $p_1(2)=1,p_2(2)=-x_2(2)=-m$ より $p_1=1$, $p_2(t)=2-t-m$。$H$ を $|u|\le \frac{1}{2}$ で最大化して
$$u(t)=\mathrm{clamp}\left(\frac{2-t-m}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$$
$0<m<1$ と仮定すると、$t\le 1-m$ では $u=\frac{1}{2}$、$1-m\le t\le 2$ では $u=\frac{2-t-m}{2}$（$t=2$ で $-\frac{m}{2}\ge -\frac{1}{2}$ なので下限にはかからない）。$w=2-t$ とおくと
$$m=\frac{1-m}{2}+{\int }_0^{1+m}\frac{w-m}{2}dw\text{ではなく}m=\frac{1-m}{2}+\frac{1-m^2}{4}.$$
（後者は $s=2-t-m$ で ${\int }_{1-m}^2\frac{2-t-m}{2}dt=\frac{1}{2}{\int }_{-m}^{1}sds=\frac{1-m^2}{4}$ より。）整理すると $m^2+6m-3=0$、$m>0$ より $m=2\sqrt{3}-3\approx 0.464$（$0<m<1$ を満たす）。

$J$ の計算: $T=1-m$ とおく。
- $[0,T]$（$u=\frac{1}{2}$）: $\int (2-t)u=T-\frac{T^2}{4}$、$\int u^2=\frac{T}{4}$。
- $[T,2]$（$u=\frac{w-m}{2}$, $w=2-t\in [0,1+m]$）: $\int (2-t)u=\frac{1}{2}\left[\frac{(1+m{)}^3}{3}-\frac{m(1+m{)}^2}{2}\right]=\frac{2+3m-m^3}{12}$、$\int u^2=\frac{1}{4}{\int }_0^{1+m}(w-m{)}^{2}dw=\frac{1+m^3}{12}$。
まとめると
$$J=\frac{2-m-m^2}{4}+\frac{2+3m-m^3}{12}-\frac{m^2}{2}-\frac{1+m^3}{12}=\frac{7-9m^2-2m^3}{12}.$$
$m^2=3-6m$, $m^3=39m-18$ を用いると $J=\frac{16-24m}{12}=\frac{4-6m}{3}=\frac{22-12\sqrt{3}}{3}=\frac{22}{3}-4\sqrt{3}\approx 0.405$。

検算: 数値で $m=0.4641$ のとき $\frac{7-9(0.2154)-2(0.0999)}{12}\approx 0.405$ で一致。また $u\equiv 0$ や $u\equiv \frac{1}{2}$ では $J=0$ であり、最大値 $0.405>0$ と矛盾しない。