オイラー・ラグランジュ方程式

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、左端の条件 $y(0)=0$ だけを満たすもの（右端の値 $y(1)$ は指定しない）の全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_0^1\left(y^{\prime }(x{)}^2-4xy(x)\right)dx$$
の最小値を求めよ。

$[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(0)=0$, $y(1)=0$ と積分制約
$${\int }_0^{1}xy(x)dx=1$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_0^1{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、左端の境界条件 $y(0)=0$ と積分制約 $${\int }_0^{1}y(x)dx=1$$ を満たすもの（右端の値 $y(1)$ は自由）の全体を考える。この範囲で汎関数 $$J[y]={\int }_0^1{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$ の最小値を求めよ。

区間 $[1,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(1)=0$, $y(2)=7$ を満たすものの全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_1^2\left(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2\right)dx$$
の最小値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、2 つの積分制約 $${\int }_0^{1}y(x)dx=0,{\int }_0^{1}xy(x)dx=1$$ を満たすもの（端点 $y(0)$, $y(1)$ の値はどちらも自由）の全体を考える。この範囲で汎関数 $$J[y]={\int }_0^1{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$ の最小値を求めよ。

$C^2([1,2])$ を閉区間 $[1,2]$ 上の実数値 $C^2$ 級関数全体とし（端点では片側微分を考える）、
$$\mathcal{A}=\left\{y\in C^2([1,2])|y(1)=0,y(2)=\frac{7}{4}\right\},\mathcal{H}=\left\{h\in C^2([1,2])|h(1)=h(2)=0\right\}$$
とおく。$y\in C^2([1,2])$ に対して
$$J[y]={\int }_1^2(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2)dx$$
と定め、$y\in \mathcal{A}$ が停留曲線であるとは、すべての $h\in \mathcal{H}$ に対して $\frac{d}{d\epsilon }J[y+\epsilon h]{|}_{\epsilon =0}=0$ が成り立つことと定める。

このとき、$\mathcal{A}$ に属する停留曲線は $y_0(x)=x-\frac{1}{x^2}$ ただ 1 つであり、さらに $y_0$ は $J$ の $\mathcal{A}$ 上の最小値を与える唯一の関数であることを証明せよ。

ただし、変分法の基本補題（$[1,2]$ 上の連続関数 $g$ がすべての $h\in \mathcal{H}$ に対して ${\int }_1^{2}ghdx=0$ を満たすならば $g\equiv 0$）と、連続な係数をもつ 2 階線形同次常微分方程式 $y^{\prime \prime }+a(x)y^{\prime }+b(x)y=0$ の $[1,2]$ 上の解全体が 2 次元の線形空間をなすことは用いてよい。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数の組 $(y(x),z(x))$ で、境界条件
$$y(0)=0,y(1)=1,z(0)=0,z(1)=0$$
と積分制約
$${\int }_0^1(y(x)+2z(x))dx=1$$
を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数
$$J[y,z]={\int }_0^1(y^{\prime }(x{)}^2+z^{\prime }(x{)}^2)dx$$
の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、左端の条件 $$y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$$ を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする（右端 $x=1$ での $y(1)$, $y^{\prime }(1)$ の値は指定しない）。$\mathcal{A}$ 上の汎関数 $$J[y]={\int }_0^1\left(y^{\prime \prime }(x{)}^2-2y(x)\right)dx+3y(1{)}^2$$ の最小値を求めよ。

$xy$ 平面において、区間 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-\sqrt{3})=0$, $y(\sqrt{3})=0$ と、すべての $x\in [-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ で $y(x)\ge 0$ を満たし、グラフの長さが
$${\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=\frac{4\pi }{3}$$
であるものの全体を考える。このとき、グラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積
$$S[y]={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}y(x)dx$$
の最大値を求めよ。

区間 $[1,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、左端の境界条件 $y(1)=0$ だけを満たすもの（右端の値 $y(2)$ は自由）の全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_1^2\left(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2\right)dx-6y(2)$$
の最小値を求めよ。

区間 $[1,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、両端の境界条件 $$y(1)=0,y(2)=\frac{7}{4}$$ を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数 $$J[y]={\int }_1^2\left(x^2{y}^{\prime }(x{)}^2+2y(x{)}^2\right)dx$$ の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。2 点 $(-1,0)$, $(1,0)$ に両端を固定した、長さ $2\sinh 1$ の一様な鎖が重力のもとでつり合っている状態を、次の変分問題で考える。

区間 $[-1,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=2\sinh 1$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で、鎖の位置エネルギー（線密度と重力加速度の積を $1$ としたもの）
$$U[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$
の最小値を求めよ。ただし、$U$ を最小にする関数がこの範囲に存在することは認めてよい。

$C^1([0,1])$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値 $C^1$ 級関数全体とし（端点では片側微分を考える）、
$$\mathcal{A}=\left\{y\in C^1([0,1])|y(0)=y(1)=0,{\int }_0^{1}y(x)dx=1\right\}$$
とおく。$y\in \mathcal{A}$ に対して
$$J[y]={\int }_0^1(y^{\prime }(x{)}^2+y(x{)}^2)dx$$
と定める。$e$ を自然対数の底とするとき、

すべての $y\in \mathcal{A}$ に対して $J[y]\ge \frac{e+1}{3-e}$ が成り立ち、等号を成立させる $y\in \mathcal{A}$ がちょうど 1 つ存在する

ことを証明せよ。

$I\subset \mathbb{R}$ を空でない開区間とし、汎関数
$$J[y]=\int \sqrt{y}\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
のラグランジアン $L(y,p)=\sqrt{y}\sqrt{1+p^2}$（$y>0$, $p\in \mathbb{R}$ で定義する）を考える。$y\in C^2(I)$ が $I$ 上で $y(x)>0$ を満たし、オイラー・ラグランジュ方程式
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial p}(y(x),y^{\prime }(x))\right)=\frac{\partial L}{\partial y}(y(x),y^{\prime }(x))(x\in I)$$
を満たすとする。このとき、定数 $c>0$ と $b\in \mathbb{R}$ が存在して、すべての $x\in I$ で
$$y(x)=c+\frac{(x-b{)}^2}{4c}$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、常微分方程式の解の一意性定理（$F(y,p)$ が開集合 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上で $C^1$ 級のとき、$y^{\prime \prime }=F(y,y^{\prime })$ の区間 $I$ 上の 2 つの $C^2$ 級解 $y,\tilde{y}$ が、$(y,y^{\prime }),(\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime })$ ともに $I$ 上で $D$ に値をとり、ある $x_0\in I$ で $(y(x_0),y^{\prime }(x_0))=(\tilde{y}(x_0),{\tilde{y}}^{\prime }(x_0))$ を満たすならば、$I$ 上で $y=\tilde{y}$）は用いてよい。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとる。重力加速度の大きさを $g>0$ とし、直線
$$\ell :y=\sqrt{3}(2\pi -x)$$
を考える。

正の数 $x_1$ と、区間 $[0,x_1]$ 上の実数値関数 $y(x)$ が次の条件をすべて満たすとする。

- $y$ は $[0,x_1]$ で連続で、$(0,x_1]$ で $C^1$ 級である。
- $y(0)=0$ であり、$0<x\le x_1$ で $y(x)>0$ である。
- 終点 $(x_1,y(x_1))$ は直線 $\ell$ 上にある（$x_1$ は固定しない）。
- 次の積分が有限である。
$$T[y]={\int }_0^{x_1}\sqrt{\frac{1+y^{\prime }(x{)}^2}{2gy(x)}}dx$$

$T[y]$ は、原点に静止させた質点が曲線 $y=y(x)$ に沿って摩擦なく滑り、直線 $\ell$ に到達するまでの時間である。このような $(x_1,y)$ 全体にわたる $T[y]$ の最小値を、$g$ を用いて表せ。