変分法・最適制御の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル証明問題大学院数学変分法・最適制御

$C^{1} ([0, 1])$ を閉区間 $[0, 1]$ 上の実数値 $C^{1}$ 級関数全体とし（端点では片側微分を考える）、
$A = {y \in C^{1} ([0, 1]) y (0) = y (1) = 0, \int_{0}^{1} y (x) d x = 1}$
とおく。 $y \in A$ に対して
$J [y] = \int_{0}^{1} (y^{'} (x)^{2} + y (x)^{2}) d x$
と定める。 $e$ を自然対数の底とするとき、

すべての $y \in A$ に対して $J [y] \geq \frac{e + 1}{3 - e}$ が成り立ち、等号を成立させる $y \in A$ がちょうど 1 つ存在する

ことを証明せよ。

この問題で使うもの

積分制約つき変分問題（ラグランジュ乗数）（説明と入口の問題）
オイラー・ラグランジュ方程式（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ラグランジュ乗数を使ってオイラー・ラグランジュ方程式から最小関数の候補 $y_{0}$ を求め、そのあと任意の $y \in A$ を $y = y_{0} + h$ と書いて $J [y] - J [y_{0}]$ を評価しましょう。

ヒント 2

$L = y^{'2} + y^{2} - μ y$ のオイラー・ラグランジュ方程式は $y^{''} - y = 定数$ です。 $y_{0} (x) = c (1 - cosh (x - \frac{1}{2}) / cosh \frac{1}{2})$ の形を考え、 $tanh \frac{1}{2} = \frac{e - 1}{e + 1}$ を使って $c$ を積分制約から決めます。

ヒント 3

$h = y - y_{0}$ は $h (0) = h (1) = 0$ , $\int_{0}^{1} h d x = 0$ を満たします。 $J [y_{0} + h]$ を展開したときの 1 次の項 $2 \int_{0}^{1} (y_{0}^{'} h^{'} + y_{0} h) d x$ を部分積分し、 $y_{0}^{''} - y_{0}$ が定数であることを使うと何がわかるか考えましょう。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

ラグランジュ乗数（またはそれに代わる考察）により、候補 $y_{0}$ が $y_{0}^{''} - y_{0} = - c$ （定数）と $y_{0} (0) = y_{0} (1) = 0$ を満たす関数として具体的に与えられている（2 点）
$y_{0} \in A$ （境界条件と $\int_{0}^{1} y_{0} d x = 1$ ）を確かめ、その過程で $c = \frac{1}{1 - 2 t a n h ( 1/2 )} = \frac{e + 1}{3 - e}$ を正しく求めている（2 点）
部分積分と $y_{0}^{''} - y_{0} = - c$ を用いて $J [y_{0}] = c \int_{0}^{1} y_{0} d x = \frac{e + 1}{3 - e}$ を計算している（2 点）
$h = y - y_{0}$ について $h (0) = h (1) = 0$ , $\int_{0}^{1} h d x = 0$ を述べ、1 次の項 $\int_{0}^{1} (y_{0}^{'} h^{'} + y_{0} h) d x$ が部分積分により $c \int_{0}^{1} h d x = 0$ となることを示し、 $J [y] = J [y_{0}] + \int_{0}^{1} (h^{'2} + h^{2}) d x$ を導いている（3 点）
$\int_{0}^{1} (h^{'2} + h^{2}) d x = 0$ から連続性を理由に $h \equiv 0$ を導き、等号を与える関数が $y_{0}$ ただ 1 つであると結論している（1 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

方針（候補の導出）. 制約 $\int_{0}^{1} y d x = 1$ に対するラグランジュ乗数 $μ$ を用いて $L = y^{'2} + y^{2} - μ y$ のオイラー・ラグランジュ方程式を書くと $- 2 y^{''} + 2 y - μ = 0$ 、すなわち $y^{''} - y = - μ /2$ となる。そこで定数 $c$ に対し $y^{''} - y = - c$ , $y (0) = y (1) = 0$ の解を候補とする。これは発見法的な導出なので、以下では候補が実際に最小を与えることを直接示す。

候補の構成. $t = tanh \frac{1}{2}$ とおく。 $t = \frac{e ^{1/2} - e ^{- 1/2}}{e ^{1/2} + e ^{- 1/2}} = \frac{e - 1}{e + 1}$ であるから
$1 - 2 t = \frac{( e + 1 ) - 2 ( e - 1 )}{e + 1} = \frac{3 - e}{e + 1} > 0$
（ $e < 3$ による）。そこで $c = \frac{1}{1 - 2 t} = \frac{e + 1}{3 - e}$ とおき、
$y_{0} (x) = c (1 - \frac{cosh ( x - \frac{1}{2} )}{cosh \frac{1}{2}}) (0 \leq x \leq 1)$
と定める。 $y_{0}$ は $C^{\infty}$ 級である。

- 境界条件: $cosh$ は偶関数なので $cosh (- \frac{1}{2}) = cosh \frac{1}{2}$ であり、 $y_{0} (0) = c (1 - 1) = 0$ 、同様に $y_{0} (1) = 0$ 。
- 積分制約: $\int_{0}^{1} cosh (x - \frac{1}{2}) d x = [sinh (x - \frac{1}{2})]_{0}^{1} = 2 sinh \frac{1}{2}$ より
$\int_{0}^{1} y_{0} d x = c (1 - \frac{2 sinh \frac{1}{2}}{cosh \frac{1}{2}}) = c (1 - 2 t) = 1.$
よって $y_{0} \in A$ 。
- 微分方程式: $y_{0}^{''} (x) = - \frac{c}{cosh \frac{1}{2}} cosh (x - \frac{1}{2}) = y_{0} (x) - c$ 、すなわち
$y_{0}^{''} - y_{0} = - c （ [0, 1] 上） . (1)$

$J [y_{0}]$ の値. 部分積分と $y_{0} (0) = y_{0} (1) = 0$ より
$\int_{0}^{1} y_{0}^{'2} d x = [y_{0} y_{0}^{'}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y_{0} y_{0}^{''} d x = - \int_{0}^{1} y_{0} y_{0}^{''} d x .$
したがって $(1)$ と積分制約を使うと
$J [y_{0}] = \int_{0}^{1} y_{0} (y_{0} - y_{0}^{''}) d x = c \int_{0}^{1} y_{0} d x = c = \frac{e + 1}{3 - e} .$

不等式. 任意の $y \in A$ をとり、 $h = y - y_{0}$ とおく。 $h \in C^{1} ([0, 1])$ で、 $h (0) = h (1) = 0$ 、 $\int_{0}^{1} h d x = 1 - 1 = 0$ である。 $y = y_{0} + h$ を代入して展開すると
$J [y] = J [y_{0}] + 2 \int_{0}^{1} (y_{0}^{'} h^{'} + y_{0} h) d x + \int_{0}^{1} (h^{'2} + h^{2}) d x . (2)$
中央の項を計算する。 $y_{0}^{'} \in C^{1}$ , $h \in C^{1}$ なので部分積分ができ、 $h (0) = h (1) = 0$ より
$\int_{0}^{1} y_{0}^{'} h^{'} d x = [y_{0}^{'} h]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y_{0}^{''} h d x = - \int_{0}^{1} y_{0}^{''} h d x .$
よって $(1)$ を用いて
$\int_{0}^{1} (y_{0}^{'} h^{'} + y_{0} h) d x = \int_{0}^{1} (y_{0} - y_{0}^{''}) h d x = c \int_{0}^{1} h d x = 0.$
これを $(2)$ に戻すと
$J [y] = J [y_{0}] + \int_{0}^{1} (h^{'2} + h^{2}) d x \geq J [y_{0}] = \frac{e + 1}{3 - e} .$

等号条件. 上の式から、等号 $J [y] = \frac{e + 1}{3 - e}$ は $\int_{0}^{1} (h^{'2} + h^{2}) d x = 0$ と同値である。被積分関数 $h^{'2} + h^{2}$ は $[0, 1]$ 上で連続かつ $0$ 以上なので、積分が $0$ となるのは $h^{'2} + h^{2} \equiv 0$ 、とくに $h \equiv 0$ のときに限る（ある点で正なら、連続性によりその近くの区間で正となり積分が正になる）。逆に $h \equiv 0$ なら等号が成り立つ。したがって等号を与える $y \in A$ は $y = y_{0}$ ただ 1 つである。

以上より、すべての $y \in A$ に対して $J [y] \geq \frac{e + 1}{3 - e}$ が成り立ち、等号を成立させる $y \in A$ はちょうど 1 つ（ $y_{0}$ ）存在する。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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