変分法・最適制御の問題

1. オイラー・ラグランジュ方程式

ラグランジュ乗数 $\lambda$ を導入し、
$$F=y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-\lambda (y+2z)$$
とおく。$y,z$ それぞれについてオイラー・ラグランジュ方程式を書くと
$$\frac{d}{dx}(2y^{\prime })=-\lambda ,\frac{d}{dx}(2z^{\prime })=-2\lambda$$
すなわち
$$y^{\prime \prime }=-\frac{\lambda }{2},z^{\prime \prime }=-\lambda$$
となる。

2. 境界条件を満たす解

$y,z$ はともに2次式である。境界条件から、定数 $p,q$ を用いて
$$y=x+px(1-x),z=qx(1-x)$$
と書ける。このとき $y^{\prime \prime }=-2p$, $z^{\prime \prime }=-2q$ なので
$$p=\frac{\lambda }{4},q=\frac{\lambda }{2}$$
であり、$q=2p$ が成り立つ。

3. 積分制約

${\int }_0^{1}x(1-x)dx=\frac{1}{6}$ を使うと
$${\int }_0^{1}ydx=\frac{1}{2}+\frac{p}{6},{\int }_0^{1}zdx=\frac{q}{6}=\frac{p}{3}$$
となる。制約から
$$\frac{1}{2}+\frac{p}{6}+\frac{2p}{3}=\frac{1}{2}+\frac{5p}{6}=1$$
なので $p=\frac{3}{5}$, $q=\frac{6}{5}$ である。

4. 汎関数の値

$y^{\prime }=1+p(1-2x)$, $z^{\prime }=q(1-2x)$ である。${\int }_0^1(1-2x)dx=0$, ${\int }_0^1(1-2x{)}^{2}dx=\frac{1}{3}$ より
$$J={\int }_0^1(1+2p(1-2x)+(p^2+q^2)(1-2x{)}^2)dx=1+\frac{p^2+q^2}{3}.$$
$p^2+q^2=\frac{9}{25}+\frac{36}{25}=\frac{9}{5}$ なので
$$J=1+\frac{9/5}{3}=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$$
となる。

5. 最小であることの確認

任意の $(\bar{y},\bar{z})\in \mathcal{A}$ に対して $\eta =\bar{y}-y$, $\zeta =\bar{z}-z$ とおく。$\eta ,\zeta$ は両端で $0$ であり、${\int }_0^1(\eta +2\zeta )dx=0$ を満たす。このとき
$$J[\bar{y},\bar{z}]-J[y,z]=2{\int }_0^1(y^{\prime }{\eta }^{\prime }+z^{\prime }{\zeta }^{\prime })dx+{\int }_0^1({\eta }^{\prime 2}+{\zeta }^{\prime 2})dx$$
である。第1項を部分積分すると、境界項は $0$ になり
$$-2{\int }_0^1(y^{\prime \prime }\eta +z^{\prime \prime }\zeta )dx=4{\int }_0^1(p\eta +q\zeta )dx=4p{\int }_0^1(\eta +2\zeta )dx=0$$
となる（$q=2p$ を使った）。第2項は $0$ 以上なので $J[\bar{y},\bar{z}]\ge J[y,z]$ が成り立ち、求めた組は最小を与える。

よって最小値は $\frac{8}{5}$ である。

ラグランジュ乗数法を用いる。$F=y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-\mu (y+2z)$ とおくと、オイラー–ラグランジュ方程式は $y^{\prime \prime }=c,z^{\prime \prime }=2c$（$c=-\mu /2$）となる。

境界条件を使うと、
$y=\frac{c}{2}{x}^2+(1-\frac{c}{2})x$、$z=c(x^2-x)$。

積分制約を計算する。
${\int }_0^{1}ydx=\frac{1}{2}-\frac{c}{12}$、$2{\int }_0^{1}zdx=-\frac{c}{3}$。
よって $\frac{1}{2}-\frac{5c}{12}=1$ となり、$c=-\frac{6}{5}$。

このとき $y^{\prime }=\frac{8-6x}{5}$、$z^{\prime }=-\frac{6}{5}(2x-1)$。
${\int }_0^1{y}^{\prime 2}dx=\frac{1}{25}{\int }_0^1(64-96x+36x^2)dx=\frac{28}{25}$。
${\int }_0^1{z}^{\prime 2}dx=\frac{36}{25}\cdot \frac{1}{3}=\frac{12}{25}$。
合計は $\frac{40}{25}=\frac{8}{5}$。

$J$ は凸汎関数で、制約は線形（アフィン）である。したがって停留点が最小点であり、最小値は $\frac{8}{5}$。

検算：$\int y=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}=\frac{3}{5}$、$\int z=\frac{1}{5}$、よって $\int (y+2z)=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1$ で制約を満たす。