変分法・最適制御の問題

1. ラグランジュ乗数法

積分制約つきの変分問題なので、ラグランジュ乗数 $\lambda$ を導入して
$$L(y,y^{\prime },x)=y^{\prime 2}-\lambda xy$$
に対するオイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}=0$ を考える。$\frac{\partial L}{\partial y}=-\lambda x$, $\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}=2y^{\prime }$ より
$$-\lambda x-2y^{\prime \prime }=0\text{すなわち}{y}^{\prime \prime }=-\frac{\lambda }{2}x$$

2. 一般解と境界条件

積分して $y=-\frac{\lambda }{12}{x}^3+ax+b$。$y(0)=0$ より $b=0$、$y(1)=0$ より $a=\frac{\lambda }{12}$。$k=-\frac{\lambda }{12}$ とおくと
$$y(x)=k\left(x^3-x\right)$$

3. 制約から $k$ を決める

$${\int }_0^{1}x\cdot k(x^3-x)dx=k\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2k}{15}=1$$
より $k=-\frac{15}{2}$。よって候補は $y^{\ast }(x)=-\frac{15}{2}(x^3-x)$。

4. $J$ の値

$y^{\ast \prime }(x)=k(3x^2-1)$ なので
$$J[y^{\ast }]=k^2{\int }_0^1(3x^2-1{)}^{2}dx=k^2{\int }_0^1\left(9x^4-6x^2+1\right)dx=k^2\left(\frac{9}{5}-2+1\right)=\frac{4}{5}{k}^2$$
$$=\frac{4}{5}\cdot \frac{225}{4}=45$$

5. 最小であることの確認

許容関数を $y=y^{\ast }+h$ と書くと、$h(0)=h(1)=0$ かつ ${\int }_0^{1}xhdx=0$ である。
$$J[y]=J[y^{\ast }]+2{\int }_0^1{y}^{\ast \prime }{h}^{\prime }dx+{\int }_0^1{h}^{\prime 2}dx$$
で、部分積分と $h(0)=h(1)=0$ より
$${\int }_0^1{y}^{\ast \prime }{h}^{\prime }dx=[y^{\ast \prime }h{]}_0^1-{\int }_0^1{y}^{\ast \prime \prime }hdx=-6k{\int }_0^{1}xhdx=0$$
したがって $J[y]=J[y^{\ast }]+{\int }_0^1{h}^{\prime 2}dx\ge J[y^{\ast }]$ となり、$y^{\ast }$ で最小値をとる。

よって最小値は $45$ である。

ラグランジュ乗数法：$F=y^{\prime 2}-\lambda xy$ のオイラー・ラグランジュ方程式は $-2y^{\prime \prime }-\lambda x=0$、すなわち $y^{\prime \prime }=cx$（$c$ は定数）。積分して $y=\frac{c}{6}{x}^3+Ax+B$。$y(0)=0$ より $B=0$、$y(1)=0$ より $A=-c/6$。よって $y=\frac{c}{6}(x^3-x)$。

制約：${\int }_0^{1}xydx=\frac{c}{6}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)=-\frac{c}{45}=1$ より $c=-45$。

$J$ の値：$y^{\prime }=\frac{c}{6}(3x^2-1)=-\frac{15}{2}(3x^2-1)$。$J=\frac{225}{4}{\int }_0^1(9x^4-6x^2+1)dx=\frac{225}{4}\left(\frac{9}{5}-2+1\right)=\frac{225}{4}\cdot \frac{4}{5}=45$。

別の確認：部分積分で $J=-{\int }_0^{1}y{y}^{\prime \prime }dx=-c{\int }_0^{1}xydx=-c=45$。

最小であること：許容関数 $y$ に対し $y=y_0+h$（$h(0)=h(1)=0$, $\int xh=0$）と置くと $J[y]=J[y_0]+2\int y_0^{\prime }{h}^{\prime }+\int h^{\prime 2}$。$\int y_0^{\prime }{h}^{\prime }=-\int y_0^{\prime \prime }h=45\int xh=0$ なので $J[y]=45+\int h^{\prime 2}\ge 45$。したがって最小値は 45（下限は達成される）。