変分法・最適制御の問題

積分制約 ${\int }_0^{2}ydx=2$ のもとで $J[y]={\int }_0^2{y}^{\prime 2}dx$ を停留させるので、ラグランジュ乗数 $\lambda$ を導入し、
$$F(y,y^{\prime })=y^{\prime 2}+\lambda y$$
に対するオイラー・ラグランジュ方程式を考える。

オイラー・ラグランジュ方程式を立てる. $\frac{\partial F}{\partial y}=\lambda$, $\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=2y^{\prime }$ なので
$$\lambda -\frac{d}{dx}(2y^{\prime })=0\text{すなわち}{y}^{\prime \prime }=\frac{\lambda }{2}.$$
2 回積分して
$$y=\frac{\lambda }{4}{x}^2+c_{1}x+c_0(c_1,c_0\text{ は定数}).$$

境界条件を使う. $y(0)=0$ より $c_0=0$。$y(2)=0$ より $\lambda +2c_1=0$、すなわち $c_1=-\frac{\lambda }{2}$。よって
$$y=\frac{\lambda }{4}(x^2-2x)=-\frac{\lambda }{4}x(2-x).$$

制約式から $\lambda$ を決める. ${\int }_0^{2}x(2-x)dx={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$ なので
$${\int }_0^{2}ydx=-\frac{\lambda }{4}\cdot \frac{4}{3}=-\frac{\lambda }{3}=2\text{より}\lambda =-6.$$
したがって停留曲線は
$$y^{\ast }(x)=\frac{3}{2}x(2-x).$$

最小値であることの確認. 条件を満たす任意の $y$ を $y=y^{\ast }+h$ と書くと、$h(0)=h(2)=0$, ${\int }_0^{2}hdx=0$ である。
$$J[y]=J[y^{\ast }]+2{\int }_0^2{y}^{\ast \prime }{h}^{\prime }dx+{\int }_0^2{h}^{\prime 2}dx.$$
部分積分と $h(0)=h(2)=0$、$y^{\ast \prime \prime }=-3$ より
$$2{\int }_0^2{y}^{\ast \prime }{h}^{\prime }dx=2[y^{\ast \prime }h{]}_0^2-2{\int }_0^2{y}^{\ast \prime \prime }hdx=6{\int }_0^{2}hdx=0.$$
よって $J[y]=J[y^{\ast }]+{\int }_0^2{h}^{\prime 2}dx\geqq J[y^{\ast }]$ であり、$y^{\ast }$ で最小となる。

最小値を計算する. $y^{\ast \prime }=\frac{3}{2}(2-2x)=3(1-x)$ より
$$J[y^{\ast }]={\int }_0^{2}9(1-x{)}^{2}dx=9{\left[-\frac{(1-x{)}^3}{3}\right]}_0^2=9\cdot \frac{1-(-1)}{3}=6.$$
よって最小値は $6$ である。

等周問題。$F=y^{\prime 2}+\lambda y$ に対するオイラー・ラグランジュ方程式は $2y^{\prime \prime }=\lambda$、つまり $y^{\prime \prime }$ は定数。$y(0)=y(2)=0$ より $y=kx(2-x)$。${\int }_0^{2}x(2-x)dx=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$ なので、積分制約 $\frac{4}{3}k=2$ より $k=\frac{3}{2}$。
$y^{\prime }=k(2-2x)$ より $J=4k^2{\int }_0^2(1-x{)}^{2}dx=4k^2\cdot \frac{2}{3}=\frac{8k^2}{3}=\frac{8}{3}\cdot \frac{9}{4}=6$。
最小であることの確認: 許容関数を $y=y_0+h$（$h(0)=h(2)=0$, $\int h=0$）と書くと、$y_0^{\prime }=-y_0^{\prime \prime }\cdot$ ではなく $y_0^{\prime \prime }=-3$ なので $\int y_0^{\prime }{h}^{\prime }dx=-\int y_0^{\prime \prime }hdx=3\int hdx=0$。よって $J[y]=J[y_0]+\int h^{\prime 2}\ge J[y_0]$。最小値は $6$。
検算: $y_0=\frac{3}{2}x(2-x)$ のとき $\int y_0=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}=2$ で制約を満たす。