積分制約つき変分問題（ラグランジュ乗数）

区間 $[0,2]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(0)=0$, $y(2)=0$ と積分制約
$${\int }_0^{2}y(x)dx=2$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_0^2{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

$[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(0)=0$, $y(1)=0$ と積分制約
$${\int }_0^{1}xy(x)dx=1$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_0^1{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

区間 $[0,\pi ]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(0)=0$, $y(\pi )=0$ と 2 つの積分制約
$${\int }_0^{\pi }y(x{)}^{2}dx=1,{\int }_0^{\pi }y(x)\sin xdx=0$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_0^{\pi }{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、左端の境界条件 $y(0)=0$ と積分制約 $${\int }_0^{1}y(x)dx=1$$ を満たすもの（右端の値 $y(1)$ は自由）の全体を考える。この範囲で汎関数 $$J[y]={\int }_0^1{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$ の最小値を求めよ。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。長さ $\frac{3}{2}$ の一様な鎖の両端を 2 点 $A(-\log 2,0)$, $B(\log 2,0)$ に固定してつるす。鎖の形を区間 $[-\log 2,\log 2]$ 上の $C^2$ 級関数のグラフ $y=y(x)$ で表すと、鎖は位置エネルギーが最小になる形をとる。すなわち $y(x)$ は、境界条件 $y(-\log 2)=0$, $y(\log 2)=0$ と長さの制約 $${\int }_{-\log 2}^{\log 2}\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=\frac{3}{2}$$ のもとで、汎関数 $$J[y]={\int }_{-\log 2}^{\log 2}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$ を最小にする。この最小を与える曲線は存在し、ラグランジュの未定乗数法によるオイラー・ラグランジュ方程式の解のうち、下に凸なもの（懸垂線）であるとしてよい。このとき、鎖の最も低い点の $y$ 座標を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、2 つの積分制約 $${\int }_0^{1}y(x)dx=0,{\int }_0^{1}xy(x)dx=1$$ を満たすもの（端点 $y(0)$, $y(1)$ の値はどちらも自由）の全体を考える。この範囲で汎関数 $$J[y]={\int }_0^1{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$ の最小値を求めよ。

区間 $[1,e]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(1)=0$, $y(e)=0$ と積分制約
$${\int }_1^{e}y(x{)}^{2}dx=1$$
を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数
$$J[y]={\int }_1^e{x}^2{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数の組 $(y(x),z(x))$ で、境界条件
$$y(0)=0,y(1)=1,z(0)=0,z(1)=0$$
と積分制約
$${\int }_0^1(y(x)+2z(x))dx=1$$
を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数
$$J[y,z]={\int }_0^1(y^{\prime }(x{)}^2+z^{\prime }(x{)}^2)dx$$
の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

$xy$ 平面において、区間 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-\sqrt{3})=0$, $y(\sqrt{3})=0$ と、すべての $x\in [-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ で $y(x)\ge 0$ を満たし、グラフの長さが
$${\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=\frac{4\pi }{3}$$
であるものの全体を考える。このとき、グラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積
$$S[y]={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}y(x)dx$$
の最大値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(0)=0$, $y(1)=1$ と積分制約 $${\int }_0^{1}y(x)dx=0$$ を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数 $$J[y]={\int }_0^1{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$ の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。2 点 $(-1,0)$, $(1,0)$ に両端を固定した、長さ $2\sinh 1$ の一様な鎖が重力のもとでつり合っている状態を、次の変分問題で考える。

区間 $[-1,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=2\sinh 1$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で、鎖の位置エネルギー（線密度と重力加速度の積を $1$ としたもの）
$$U[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$
の最小値を求めよ。ただし、$U$ を最小にする関数がこの範囲に存在することは認めてよい。

$C^1([0,1])$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値 $C^1$ 級関数全体とし（端点では片側微分を考える）、
$$\mathcal{A}=\left\{y\in C^1([0,1])|y(0)=y(1)=0,{\int }_0^{1}y(x)dx=1\right\}$$
とおく。$y\in \mathcal{A}$ に対して
$$J[y]={\int }_0^1(y^{\prime }(x{)}^2+y(x{)}^2)dx$$
と定める。$e$ を自然対数の底とするとき、

すべての $y\in \mathcal{A}$ に対して $J[y]\ge \frac{e+1}{3-e}$ が成り立ち、等号を成立させる $y\in \mathcal{A}$ がちょうど 1 つ存在する

ことを証明せよ。

$L=\frac{3}{2\log 2}$ とする。区間 $[-1,1]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=L$$
を満たすもの全体を考える（$L>2$ である）。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$
（一様な鎖の位置エネルギーに比例する量）は最小値をもつことが知られている。$J[y]$ の最小値を求めよ。

$xy$ 平面（$y$ 軸は鉛直上向き）において、区間 $[-1,1]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約 $${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=e-e^{-1}$$ を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする（これは、長さ $e-e^{-1}$ の一様な鎖を 2 点 $(-1,0)$, $(1,0)$ から吊るす状況に対応する）。鎖の位置エネルギーに比例する汎関数 $$U[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$ の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。ただし、$U$ が $\mathcal{A}$ において最小値をとる関数が存在すること、および最小を与える関数がオイラー・ラグランジュ方程式（ラグランジュ乗数つき）の解となるだけの滑らかさをもつことは認めてよい。