変分法・最適制御の問題

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。2 点 $(-1,0)$, $(1,0)$ に両端を固定した、長さ $2\sinh 1$ の一様な鎖が重力のもとでつり合っている状態を、次の変分問題で考える。

区間 $[-1,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=2\sinh 1$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で、鎖の位置エネルギー（線密度と重力加速度の積を $1$ としたもの）
$$U[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$
の最小値を求めよ。ただし、$U$ を最小にする関数がこの範囲に存在することは認めてよい。

区間 $[-2,2]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-2)=y(2)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-2}^2\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=2\sinh 2$$
をみたすもの全体を考える。この中で汎関数
$$J[y]={\int }_{-2}^{2}y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
（一様な鎖の位置エネルギーに比例する量）を最小にする関数が存在し、それは積分制約つき変分問題の停留曲線（ラグランジュ乗数法によるオイラー・ラグランジュ方程式の解）として得られることが知られている。$J[y]$ の最小値を求めよ。ただし $\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$, $\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ とする。

$xy$ 平面（$y$ 軸は鉛直上向き）において、区間 $[-1,1]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約 $${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=e-e^{-1}$$ を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする（これは、長さ $e-e^{-1}$ の一様な鎖を 2 点 $(-1,0)$, $(1,0)$ から吊るす状況に対応する）。鎖の位置エネルギーに比例する汎関数 $$U[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$ の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。ただし、$U$ が $\mathcal{A}$ において最小値をとる関数が存在すること、および最小を与える関数がオイラー・ラグランジュ方程式（ラグランジュ乗数つき）の解となるだけの滑らかさをもつことは認めてよい。

区間 $[0,1]$ 上の $C^2$ 級の関数 $y(x)$ で、つねに $y(x)>0$ であり、境界条件 $y(0)=1$, $y(1)=\sqrt{2}$ を満たすもの全体の上で、汎関数
$$J[y]={\int }_0^1\frac{\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}}{y(x)}dx$$
を考える。$J$ の停留曲線（オイラー・ラグランジュ方程式の解で境界条件を満たすもの）はただ 1 つ存在する。この停留曲線 $y(x)$ について、$y\left(\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

$xy$ 平面において、区間 $[-1,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で
$$S[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)dx$$
の最大値を求めよ。