ベルトラミの公式（第 1 積分）

$L$ が $x$ を陽に含まないとき $L - y^{'} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = C$ を使ってオイラー・ラグランジュ方程式を 1 階に下げ、 $y 1 + y^{'2}$ 型の汎関数の停留曲線（ $y = c cosh \frac{x - x _{0}}{c}$ など）を求められる

前提

オイラー・ラグランジュ方程式（大学院数学変分法・最適制御）

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算数中学高校大学大学院

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三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
部分積分（数学III 積分法）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）
オイラー・ラグランジュ方程式（大学院数学変分法・最適制御）

説明

被積分関数 $L (y, y^{'})$ が独立変数 $x$ を陽に含まないとき、オイラー・ラグランジュ方程式（2 階）の代わりに、1 階の方程式 $L - y^{'} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = C$ （ $C$ は定数）を使って停留曲線を求められるようになります。これをベルトラミの公式（第 1 積分）といいます。回転面の面積を表す $\int y 1 + y^{'2} d x$ （懸垂線 $y = c cosh \frac{x - x _{0}}{c}$ が現れる。ここで $cosh t = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}$ ）や、最速降下線の問題など、 $L$ が $y$ と $y^{'}$ だけで書ける汎関数でよく使います。

なぜそうしてよいのか

$y$ を $C^{2}$ 級の関数、 $L = L (x, y, y^{'})$ を $C^{2}$ 級として、 $H = L - y^{'} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}}$ を $x$ で微分してみます。合成関数の微分より $\frac{d L}{d x} = \frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial L}{\partial y} y^{'} + \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} y^{''}$ なので、 $\frac{d H}{d x} = \frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial L}{\partial y} y^{'} + \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} y^{''} - y^{''} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} - y^{'} \frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = \frac{\partial L}{\partial x} + y^{'} (\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}})$ となります。

$L$ が $x$ を陽に含まなければ $\frac{\partial L}{\partial x} = 0$ です。さらに $y$ がオイラー・ラグランジュ方程式を満たせば括弧の中が 0 なので、 $\frac{d H}{d x} = 0$ 、つまり $H$ は停留曲線に沿って一定です。こうして 2 階の方程式が、定数 $C$ を 1 つ含む 1 階の方程式 $H = C$ に下がります（力学でいえば、時間を陽に含まない系のエネルギー保存にあたります）。

逆向きには注意が必要です。上の式から、 $H = C$ が成り立っても言えるのは $y^{'} (\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}}) = 0$ だけで、オイラー・ラグランジュ方程式が従うのは $y^{'} \neq = 0$ となる所だけです。 $y^{'} = 0$ となる区間（定数関数の部分）では、元の方程式を満たすかどうかを別に確かめなければなりません。

手順

$L$ が $x$ を陽に含まない（ $L = L (y, y^{'})$ の形である）ことを確認する。
$H = L - y^{'} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}}$ を計算して簡単にし、 $H = C$ （ $C$ は定数）とおく。例: $L = y 1 + y^{'2}$ なら $H = \frac{y}{1 + y ^{'2}}$ 。
条件（端点や $x = x_{0}$ での値・傾き）から $C$ を決められるときは決め、 $y^{'}$ について解く（平方根の $\pm$ に注意）。
得られた 1 階の方程式を、変数分離で積分するか、両辺を微分して定数係数の線形方程式に直して解く。
$y^{'} = 0$ となる区間や定数解を元のオイラー・ラグランジュ方程式で確認して除き、残った定数を条件から決める。

例題

汎関数 $J [y] = \int y 1 + y^{'2} d x$ のオイラー・ラグランジュ方程式の解 $y = y (x)$ で、実数全体で定義された $C^{2}$ 級で $y > 0$ であり、 $y (0) = 1$ , $y^{'} (0) = 0$ を満たすものを考える。 $y (lo g 3)$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $L = y 1 + y^{'2}$ は $x$ を陽に含まないので、ベルトラミの公式が使える。

【手順 2】 $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = \frac{y y ^{'}}{1 + y ^{'2}}$ より $H = y 1 + y^{'2} - \frac{y y ^{'2}}{1 + y ^{'2}} = \frac{y ( 1 + y ^{'2} ) - y y ^{'2}}{1 + y ^{'2}} = \frac{y}{1 + y ^{'2}} = C .$

【手順 3】 $x = 0$ を代入すると $C = \frac{1}{1 + 0} = 1$ 。よって $y = 1 + y^{'2}$ 、両辺を 2 乗して $y^{2} = 1 + y^{'2}$ 。

【手順 4】両辺を $x$ で微分すると $2 y y^{'} = 2 y^{'} y^{''}$ 。したがって $y^{'} \neq = 0$ となる点では $y^{''} = y$ 。

【手順 5】 $y^{'} = 0$ となる点の扱い: もしある開区間で $y^{'} \equiv 0$ なら、そこで $y$ は定数で、 $\frac{\partial L}{\partial y} = 1 + y^{'2} = 1$ , $\frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = 0$ となり、オイラー・ラグランジュ方程式 $1 - 0 = 0$ に矛盾する。よって、どの開区間にも $y^{'} \neq = 0$ となる点が存在する（ $y^{'} \neq = 0$ の点は実数全体で稠密である）。 $y^{''} = y$ はそれらの点で成り立ち、 $y^{''}$ と $y$ は連続だから、極限をとって $y^{''} = y$ がすべての $x$ で成り立つ。
この定数係数 2 階線形方程式の一般解は $y = A e^{x} + B e^{- x}$ 。 $y (0) = A + B = 1$ , $y^{'} (0) = A - B = 0$ より $A = B = \frac{1}{2}$ 、すなわち $y = cosh x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ （ $y > 0$ を満たす）。
検算のため $sinh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ とおくと、 $(cosh x)^{'} = sinh x$ 、 $(sinh x)^{'} = cosh x$ であり、 $cosh^{2} x - sinh^{2} x = \frac{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2} - ( e ^{x} - e ^{- x} ) ^{2}}{4} = 1$ より $1 + sinh^{2} x = cosh^{2} x$ 。 $cosh x > 0$ なので $1 + y^{'2} = 1 + sinh^{2} x = cosh x$ 。よって $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = \frac{y y ^{'}}{1 + y ^{'2}} = \frac{c o s h x s i n h x}{c o s h x} = sinh x$ 、 $\frac{\partial L}{\partial y} = 1 + y^{'2} = cosh x$ で、 $\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = cosh x - cosh x = 0$ となり、オイラー・ラグランジュ方程式を満たす。

したがって $y (lo g 3) = \frac{e ^{l o g 3} + e ^{- l o g 3}}{2} = \frac{3 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{5}{3} .$

答え: $\frac{5}{3}$

よくある誤り

符号を逆にして $L + y^{'} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = C$ としてしまう誤り。正しくは $L - y^{'} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = C$ 。例えば $L = y 1 + y^{'2}$ では $H = \frac{y}{1 + y ^{'2}}$ であり、 $\frac{y ( 1 + 2 y ^{'2} )}{1 + y ^{'2}}$ ではない。
$L$ が $x$ を陽に含むのに公式を使ってしまう誤り。例えば $L = x y^{'2}$ （ $x > 0$ ）では $H = L - y^{'} \cdot 2 x y^{'} = - x y^{'2}$ で、停留曲線上では括弧の項が消えるので $\frac{d H}{d x} = \frac{\partial L}{\partial x} = y^{'2}$ となる。停留曲線は $(2 x y^{'})^{'} = 0$ より $y^{'} = \frac{k}{x}$ で、定数でない解（ $k \neq = 0$ ）では $y^{'2} \neq = 0$ だから $H$ は一定ではない。正しくは、 $\frac{\partial L}{\partial x} = 0$ のときだけ $H$ が保存される（ $L = x y^{'2}$ なら $L$ が $y$ を含まないので $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = 2 x y^{'}$ が一定、を使う）。
$H = C$ の解をすべて停留曲線とみなしてしまう誤り。例えば $L = y 1 + y^{'2}$ で定数関数 $y \equiv c$ $(c > 0)$ は $\frac{y}{1 + y ^{'2}} = c$ を満たすが、 $\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = 1 \neq = 0$ なので停留曲線ではない。正しくは、 $H = C$ から元の方程式が従うのは $y^{'} \neq = 0$ の所だけなので、 $y^{'} = 0$ となる部分は元の方程式で確かめる。
$y^{'}$ について解くときに $\pm$ や平行移動の定数を落とし、 $y = c cosh \frac{x}{c}$ だけを答えにしてしまう誤り。正しくは $\frac{y}{1 + y ^{'2}} = c (c > 0)$ から $y^{'} = \pm \frac{y ^{2} - c ^{2}}{c}$ となり、一般解は $y = c cosh \frac{x - x _{0}}{c}$ で、 $c$ と $x_{0}$ の 2 つの定数を端点の条件で決める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
区間 $[0, 1]$ 上の $C^{2}$ 級の関数 $y (x)$ で、つねに $y (x) > 0$ であり、境界条件 $y (0) = 1$ , $y (1) = 2$ を満たすもの全体の上で、汎関数
$J [y] = \int_{0}^{1} \frac{1 + y ^{'} ( x ) ^{2}}{y ( x )} d x$
を考える。 $J$ の停留曲線（オイラー・ラグランジュ方程式の解で境界条件を満たすもの）はただ 1 つ存在する。この停留曲線 $y (x)$ について、 $y (\frac{1}{2})$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

最速降下線（大学院数学変分法・最適制御）
懸垂線と吊るされた鎖（大学院数学変分法・最適制御）