変分法・最適制御の問題

長さの汎関数を $L[y]={\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$ とおく。最小を与える関数を $y$ とする。

ラグランジュの乗数法が使えることの確認. 等周型の制約のもとでの乗数法は、最小点 $y$ が制約汎関数 $L$ の停留関数でない（正則である）ときに使える。$L$ の停留関数は、オイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{d}{dx}\frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=0$ より $\frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$ が定数、すなわち $y^{\prime }$ が定数の関数（直線）であり、境界条件 $y(-1)=y(1)=0$ から $y\equiv 0$ に限られる。その長さは $2\ne 2\sinh 1$ なので、制約を満たす関数はどれも $L$ の停留関数ではない。したがって、ある定数 $\lambda$ があって、$y$ は補助汎関数
$${\int }_{-1}^1(y-\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
の停留関数になる（$U$ の係数を $1$ にとってよい）。

オイラー・ラグランジュ方程式. $F=(y-\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ とおき、$Y=y-\lambda$ とする（$Y^{\prime }=y^{\prime }$）。$F$ は $x$ を陽に含まないので、ベルトラミの公式 $F-y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=\text{const}$ が成り立つ:
$$Y\sqrt{1+y^{\prime 2}}-\frac{Y{y}^{\prime 2}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\frac{Y}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=c(c\text{は定数}).$$
$c=0$ なら $Y\equiv 0$、すなわち $y\equiv \lambda$ で、境界条件から $y\equiv 0$ となり長さが $2$ なので不適。よって $c\ne 0$ で、$Y=c\sqrt{1+Y^{\prime 2}}$ より $Y$ はつねに $c$ と同符号で $|Y|\ge |c|>0$、特に $Y$ は $0$ にならない。

次に 2 階のオイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=\frac{\partial F}{\partial y}$ を書くと
$$\frac{d}{dx}\frac{Y{y}^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}.$$
左辺を展開すると $\frac{y^{\prime 2}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}+\frac{Y{y}^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$ なので、両辺に $(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}$ を掛けて整理すると $Y{y}^{\prime \prime }=1+y^{\prime 2}$、すなわち
$$Y^{\prime \prime }=\frac{1+Y^{\prime 2}}{Y}(Y\ne 0)$$
を得る。右辺は $Y\ne 0$ で滑らかなので、この 2 階方程式の初期値問題の解は一意である。また $Y^{\prime \prime }$ は $Y$ と同符号でつねに $0$ でないから、$Y^{\prime }$ は狭義単調であり、$Y$ が定数になる区間は存在しない（定数解や、定数解との貼り合わせは起こらない）。

解の決定. $Y(-1)=Y(1)=-\lambda$ なので、ロルの定理より $Y^{\prime }(x_0)=0$ となる $x_0\in (-1,1)$ がある。このとき $Y=c\sqrt{1+Y^{\prime 2}}$ より $Y(x_0)=c$。一方、$Z(x)=c\cosh \frac{x-x_0}{c}$ は
$$Z^{\prime \prime }=\frac{1}{c}\cosh \frac{x-x_0}{c},\frac{1+Z^{\prime 2}}{Z}=\frac{{\cosh }^2\frac{x-x_0}{c}}{c\cosh \frac{x-x_0}{c}}=\frac{1}{c}\cosh \frac{x-x_0}{c}$$
より同じ方程式を満たし、$Z(x_0)=c$, $Z^{\prime }(x_0)=0$ である。解の一意性から $Y=Z$、すなわち
$$y=\lambda +c\cosh \frac{x-x_0}{c}.$$
$y(-1)=y(1)$ より $\cosh \frac{-1-x_0}{c}=\cosh \frac{1-x_0}{c}$。$\cosh$ は偶関数で $[0,\infty )$ で狭義増加だから $|1+x_0|=|1-x_0|$、よって $x_0=0$。このとき $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\sqrt{1+{\sinh }^2\frac{x}{c}}=\cosh \frac{x}{c}$ なので長さは
$${\int }_{-1}^1\cosh \frac{x}{c}dx=2|c|\sinh \frac{1}{|c|}.$$
関数 $g(s)=s\sinh (1/s)$ $(s>0)$ は
$$g^{\prime }(s)=\sinh \frac{1}{s}-\frac{1}{s}\cosh \frac{1}{s}=\cosh \frac{1}{s}\left(\tanh \frac{1}{s}-\frac{1}{s}\right)<0$$
（$t>0$ で $\tanh t<t$）より狭義減少なので、$2|c|\sinh (1/|c|)=2\sinh 1$ から $|c|=1$。境界条件 $y(1)=0$ から $\lambda =-c\cosh 1$。したがって候補は
$$y_{+}(x)=\cosh x-\cosh 1(c=1),y_{-}(x)=\cosh 1-\cosh x(c=-1)$$
の 2 つである。

エネルギーの計算. どちらも $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\cosh x$。$y_{+}$ について
$$U[y_{+}]={\int }_{-1}^1({\cosh }^{2}x-\cosh 1\cosh x)dx.$$
ここで
$${\int }_{-1}^1{\cosh }^{2}xdx={\int }_{-1}^1\frac{1+\cosh 2x}{2}dx=1+\frac{\sinh 2}{2},{\int }_{-1}^1\cosh xdx=2\sinh 1$$
なので
$$U[y_{+}]=1+\frac{\sinh 2}{2}-2\sinh 1\cosh 1=1+\frac{\sinh 2}{2}-\sinh 2=1-\frac{\sinh 2}{2}.$$
また $y_{-}=-y_{+}$ より $U[y_{-}]=-U[y_{+}]=\frac{\sinh 2}{2}-1$ である。$\sinh 2=\frac{e^2-e^{-2}}{2}>2$ より $U[y_{+}]<0<U[y_{-}]$。

最小を与える関数は存在し、上の議論からそれは $y_{+}$ か $y_{-}$ のどちらかなので、最小値は
$$1-\frac{\sinh 2}{2}=1-\frac{e^2-e^{-2}}{4}$$
である（$y_{+}$ は下に垂れた懸垂線）。

ラグランジュの未定乗数法により、$F=(y-\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ に対するオイラー・ラグランジュ方程式を考える。$F$ は $x$ をあらわに含まないのでベルトラミの恒等式 $F-y^{\prime }{F}_{y^{\prime }}=\frac{y-\lambda }{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C$ が成り立つ。これを解くと懸垂線 $y=\lambda +b\cosh \frac{x-x_0}{b}$ の形になる（$b=C$）。境界条件が $x=\pm 1$ で対称なので $x_0=0$、$y(\pm 1)=0$ より
$$y=b\cosh \frac{x}{b}-b\cosh \frac{1}{b}。$$

長さの条件: ${\int }_{-1}^1\cosh \frac{x}{b}dx=2b\sinh \frac{1}{b}=2\sinh 1$。関数 $b\mapsto b\sinh (1/b)$ は $b>0$ で狭義単調減少なので $b=1$ が唯一の解。よって $y=\cosh x-\cosh 1$（下に垂れた懸垂線で位置エネルギー最小の鎖の形）。

$\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\cosh x$ なので
$$U={\int }_{-1}^1(\cosh x-\cosh 1)\cosh xdx={\int }_{-1}^1{\cosh }^{2}xdx-\cosh 1{\int }_{-1}^1\cosh xdx。$$
${\int }_{-1}^1{\cosh }^{2}xdx={\int }_{-1}^1\frac{1+\cosh 2x}{2}dx=1+\frac{\sinh 2}{2}$、$\cosh 1\cdot 2\sinh 1=\sinh 2$。よって
$$U=1+\frac{\sinh 2}{2}-\sinh 2=1-\frac{\sinh 2}{2}\approx -0.813。$$

検算: 長さ $\int \cosh xdx=2\sinh 1$ で条件を満たす。直線（弦）のとき $U=0$ で、それより小さい値になっており、最小値として妥当。