変分法・最適制御の問題

ラグランジュ乗数と第一積分. 長さの制約に対する乗数を $\lambda$ とし、$$F(y,y^{\prime })=(y-\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}$$ を考える（$U$ の係数が $0$ になる異常な場合は、長さだけの停留曲線、すなわち線分 $y\equiv 0$ となるが、その長さは $2\ne e-e^{-1}$ なので起こらない）。$F$ は $x$ を陽に含まないので、ベルトラミの公式 $F-y^{\prime }{F}_{y^{\prime }}=c$（定数）が成り立つ。$$F-y^{\prime }{F}_{y^{\prime }}=(y-\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}-\frac{(y-\lambda )y^{\prime 2}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\frac{y-\lambda }{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=c.$$

$c=0$ なら $y\equiv \lambda$、境界条件から $y\equiv 0$ で、長さ $2$ となり制約に反する。よって $c\ne 0$ で、$y-\lambda =c\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ を解くと（$y-\lambda$ は $c$ と同符号で $|y-\lambda |\ge |c|$）、$$y=\lambda +c\cosh \frac{x-d}{c}(d\text{ は定数})$$ となる（懸垂線）。

定数の決定. $y(-1)=y(1)$ より $\cosh \frac{-1-d}{c}=\cosh \frac{1-d}{c}$、$\cosh$ は偶関数で $(0,\infty )$ で狭義単調増加なので $|1+d|=|1-d|$、すなわち $d=0$。$k=|c|>0$ とおくと $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\cosh \frac{x}{k}$ なので、長さは $${\int }_{-1}^1\cosh \frac{x}{k}dx=2k\sinh \frac{1}{k}.$$ $t=1/k$ とおくと $2\frac{\sinh t}{t}$ は $t>0$ で狭義単調増加なので、$2k\sinh \frac{1}{k}=e-e^{-1}=2\sinh 1$ の解は $k=1$ だけである。したがって $c=\pm 1$。

• $c=1$: $y=\lambda +\cosh x$、$y(1)=0$ より $\lambda =-\cosh 1$。$y_1(x)=\cosh x-\cosh 1(\le 0)$。
• $c=-1$: $y=\lambda -\cosh x$、$\lambda =\cosh 1$。$y_2(x)=\cosh 1-\cosh x(\ge 0)$。

汎関数の値. どちらも $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\cosh x$ であり、$${\int }_{-1}^1{\cosh }^{2}xdx={\int }_{-1}^1\frac{1+\cosh 2x}{2}dx=1+\frac{\sinh 2}{2},{\int }_{-1}^1\cosh xdx=2\sinh 1.$$ よって $$U[y_1]=1+\frac{\sinh 2}{2}-2\sinh 1\cosh 1=1-\frac{\sinh 2}{2},U[y_2]=\frac{\sinh 2}{2}-1.$$ $\sinh 2>2$ なので $U[y_1]<0<U[y_2]$。

結論. 最小を与える関数は停留関数のどれかであり、停留関数は $y_1,y_2$ だけなので、最小値は $$U[y_1]=1-\frac{\sinh 2}{2}=1-\frac{e^2-e^{-2}}{4}$$ である（下に垂れ下がる懸垂線 $y=\cosh x-\cosh 1$ が最小を与える）。

ラグランジュ乗数 $\lambda$ を用いて $\int (y-\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$ の停留条件を考える。被積分関数は $x$ を陽に含まないのでベルトラミの恒等式より $\frac{y-\lambda }{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C$（定数）。解は $y=\lambda +C\cosh \frac{x-x_0}{C}$（$C\ne 0$、$C=0$ なら $y\equiv \lambda$ で長さ制約を満たさない）。
$y(-1)=y(1)$ より $x_0=0$。弧長は ${\int }_{-1}^1\cosh (x/a)dx=2a\sinh (1/a)$（$a=|C|$）で、これが $e-e^{-1}=2\sinh 1$ に等しい。$a\sinh (1/a)$ は $a>0$ で狭義単調減少なので $a=1$。
候補は 2 つ:
(i) $C=1$: $y=\cosh x-\cosh 1$（垂れ下がる鎖）。$y^{\prime }=\sinh x$、$\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\cosh x$。
$U={\int }_{-1}^1(\cosh x-\cosh 1)\cosh xdx=2{\int }_0^1{\cosh }^{2}xdx-\cosh 1\cdot 2\sinh 1=\left(1+\frac{\sinh 2}{2}\right)-\sinh 2=1-\frac{\sinh 2}{2}$。
(ii) $C=-1$: $y=\cosh 1-\cosh x$ で $U=\frac{\sinh 2}{2}-1$。
$\sinh 2\approx 3.627$ なので (i) は約 $-0.813$、(ii) は約 $+0.813$。最小値は (i) で、$1-\frac{\sinh 2}{2}=1-\frac{e^2-e^{-2}}{4}$。
検算: ${\int }_0^1{\cosh }^{2}xdx=\frac{1}{2}+\frac{\sinh 2}{4}$ より $2\times$ は $1+\frac{\sinh 2}{2}$。