変分法・最適制御の問題

1. 乗数を入れた被積分関数 長さの制約にラグランジュ乗数 $\lambda$ をつけ、
$$F(y,y^{\prime })=y\sqrt{1+y^{\prime 2}}+\lambda \sqrt{1+y^{\prime 2}}=(y+\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}$$
を考える。$u=y+\lambda$ とおくと
$$F_y=\sqrt{1+y^{\prime 2}},F_{y^{\prime }}=\frac{u{y}^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$$
であり、停留曲線はオイラー・ラグランジュ方程式
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u{y}^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}\right)=\sqrt{1+y^{\prime 2}}(1)$$
をみたす。

2. ベルトラミの公式 $F$ は $x$ を陽に含まないので、$(1)$ の解では
$$\frac{d}{dx}(F-y^{\prime }{F}_{y^{\prime }})=y^{\prime }(F_y-\frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }})=0$$
となり、$F-y^{\prime }{F}_{y^{\prime }}=c$（定数）が成り立つ。計算すると
$$(y+\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}-\frac{(y+\lambda )y^{\prime 2}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\frac{u}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=c(2)$$
である。$c=0$ なら $u\equiv 0$ で $F_{y^{\prime }}\equiv 0$ となり、$(1)$ の左辺は $0$、右辺は $\sqrt{1+y^{\prime 2}}\ge 1$ なので矛盾する。よって $c\ne 0$。

3. 懸垂線への絞り込み $(2)$ を $(1)$ に代入する。$(2)$ より $\frac{u}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=c$ なので $F_{y^{\prime }}=c{y}^{\prime }$ となり、$(1)$ は
$$c{y}^{\prime \prime }=\sqrt{1+y^{\prime 2}}(3)$$
となる。（$(2)$ だけでは $y^{\prime }=0$ となる区間で $(1)$ をみたすとは限らないが、ここでは $(1)$ そのものを使っているので、この心配はない。実際 $(3)$ より $y^{\prime \prime }\ne 0$ なので、$y^{\prime }$ は狭義単調で、$y^{\prime }=0$ となる区間はない。）$p=y^{\prime }$ とおくと $(3)$ は $\frac{p^{\prime }}{\sqrt{1+p^2}}=\frac{1}{c}$ で、右辺の $\sqrt{1+p^2}$ は $p$ についてリプシッツ連続なので解は一意である。両辺を積分すると $\mathrm{arsinh}p=\frac{x-x_0}{c}$、すなわち
$$y^{\prime }=\sinh \frac{x-x_0}{c}$$
となる。これを $(2)$ に代入すると $u=c\sqrt{1+y^{\prime 2}}=c\cosh \frac{x-x_0}{c}$ なので
$$y+\lambda =c\cosh \frac{x-x_0}{c}$$
を得る（懸垂線）。

4. 境界条件 $y(-2)=y(2)$ より $\cosh \frac{-2-x_0}{c}=\cosh \frac{2-x_0}{c}$。$\cosh$ は偶関数で $t\ge 0$ で狭義増加なので $|2+x_0|=|2-x_0|$、よって $x_0=0$。さらに $y(2)=0$ より $\lambda =c\cosh \frac{2}{c}$。したがって
$$y=c\cosh \frac{x}{c}-c\cosh \frac{2}{c}.$$

5. 長さの条件で $c$ を決める $y^{\prime }=\sinh \frac{x}{c}$ より $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\cosh \frac{x}{c}$。よって長さは
$${\int }_{-2}^2\cosh \frac{x}{c}dx=2|c|\sinh \frac{2}{|c|}.$$
$k=|c|>0$ とし $t=\frac{2}{k}$ とおくと $2k\sinh \frac{2}{k}=4\cdot \frac{\sinh t}{t}$ で、$\frac{\sinh t}{t}$ は $t>0$ で狭義増加なので、$2k\sinh \frac{2}{k}=2\sinh 2$ をみたす $k$ はただ 1 つで、$k=1$ がそれである。よって $c=1$ または $c=-1$。

6. $J$ の値を比べる $c=\pm 1$ のとき $y=\pm (\cosh x-\cosh 2)$, $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\cosh x$ である。
$${\int }_{-2}^2{\cosh }^{2}xdx={\int }_{-2}^2\frac{1+\cosh 2x}{2}dx=2+\frac{\sinh 4}{2},\cosh 2{\int }_{-2}^2\cosh xdx=2\sinh 2\cosh 2=\sinh 4$$
より
$${\int }_{-2}^2(\cosh x-\cosh 2)\cosh xdx=2+\frac{\sinh 4}{2}-\sinh 4=2-\frac{\sinh 4}{2}.$$
したがって $c=1$ のとき $J=2-\frac{1}{2}\sinh 4(<0)$、$c=-1$ のとき $J=\frac{1}{2}\sinh 4-2(>0)$。最小値を与える関数は停留曲線のどちらかなので、最小値は
$$2-\frac{1}{2}\sinh 4$$
である（下に垂れ下がる懸垂線 $y=\cosh x-\cosh 2$）。

被積分関数に乗数 $\lambda$ を加えた $F=(y-\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ について、$F$ は $x$ をあらわに含まないのでベルトラミの恒等式 $F-y^{\prime }{F}_{y^{\prime }}=\frac{y-\lambda }{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C$ が成り立つ。よって停留曲線は懸垂線 $y=\lambda +b\cosh \frac{x-x_0}{b}$（$b>0$）である。境界条件 $y(-2)=y(2)=0$ より $x_0=0$、$\lambda =-b\cosh \frac{2}{b}$ となり、$y=b\cosh \frac{x}{b}-b\cosh \frac{2}{b}$。

長さ: ${\int }_{-2}^2\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx={\int }_{-2}^2\cosh \frac{x}{b}dx=2b\sinh \frac{2}{b}$。これが $2\sinh 2$ に等しいので $b\sinh \frac{2}{b}=\sinh 2$。$u=2/b$ とおくと $\frac{\sinh u}{u}=\frac{\sinh 2}{2}$ で、$\sinh u/u$ は $u>0$ で狭義単調増加なので $u=2$、すなわち $b=1$ （一意）。

よって $y=\cosh x-\cosh 2$、$\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\cosh x$。

$J={\int }_{-2}^2(\cosh x-\cosh 2)\cosh xdx={\int }_{-2}^2{\cosh }^{2}xdx-\cosh 2{\int }_{-2}^2\cosh xdx$。

${\int }_{-2}^2{\cosh }^{2}xdx={\int }_{-2}^2\frac{1+\cosh 2x}{2}dx=2+\frac{\sinh 4}{2}$、${\int }_{-2}^2\cosh xdx=2\sinh 2$。

ゆえに $J=2+\frac{\sinh 4}{2}-2\sinh 2\cosh 2=2+\frac{\sinh 4}{2}-\sinh 4=2-\frac{\sinh 4}{2}$。

検算: $\sinh 4\approx 27.2899$ より $J\approx 2-13.645=-11.645$。直接数値評価でも ${\int }_{-2}^2{\cosh }^{2}xdx\approx 2+13.645=15.645$、$\cosh 2\cdot 2\sinh 2=\sinh 4\approx 27.29$ で差は $-11.645$ となり一致する。最小値の存在は問題文で与えられており、停留曲線が一意なのでそれが最小を与える。