懸垂線と吊るされた鎖

区間 $[-2,2]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-2)=y(2)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-2}^2\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=2\sinh 2$$
をみたすもの全体を考える。この中で汎関数
$$J[y]={\int }_{-2}^{2}y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
（一様な鎖の位置エネルギーに比例する量）を最小にする関数が存在し、それは積分制約つき変分問題の停留曲線（ラグランジュ乗数法によるオイラー・ラグランジュ方程式の解）として得られることが知られている。$J[y]$ の最小値を求めよ。ただし $\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$, $\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ とする。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。長さ $\frac{3}{2}$ の一様な鎖の両端を 2 点 $A(-\log 2,0)$, $B(\log 2,0)$ に固定してつるす。鎖の形を区間 $[-\log 2,\log 2]$ 上の $C^2$ 級関数のグラフ $y=y(x)$ で表すと、鎖は位置エネルギーが最小になる形をとる。すなわち $y(x)$ は、境界条件 $y(-\log 2)=0$, $y(\log 2)=0$ と長さの制約 $${\int }_{-\log 2}^{\log 2}\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=\frac{3}{2}$$ のもとで、汎関数 $$J[y]={\int }_{-\log 2}^{\log 2}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$ を最小にする。この最小を与える曲線は存在し、ラグランジュの未定乗数法によるオイラー・ラグランジュ方程式の解のうち、下に凸なもの（懸垂線）であるとしてよい。このとき、鎖の最も低い点の $y$ 座標を求めよ。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。2 点 $(-1,0)$, $(1,0)$ に両端を固定した、長さ $2\sinh 1$ の一様な鎖が重力のもとでつり合っている状態を、次の変分問題で考える。

区間 $[-1,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=2\sinh 1$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で、鎖の位置エネルギー（線密度と重力加速度の積を $1$ としたもの）
$$U[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$
の最小値を求めよ。ただし、$U$ を最小にする関数がこの範囲に存在することは認めてよい。

$L=\frac{3}{2\log 2}$ とする。区間 $[-1,1]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=L$$
を満たすもの全体を考える（$L>2$ である）。この範囲で汎関数
$$J[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$
（一様な鎖の位置エネルギーに比例する量）は最小値をもつことが知られている。$J[y]$ の最小値を求めよ。

$xy$ 平面（$y$ 軸は鉛直上向き）において、区間 $[-1,1]$ 上の $C^1$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約 $${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=e-e^{-1}$$ を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする（これは、長さ $e-e^{-1}$ の一様な鎖を 2 点 $(-1,0)$, $(1,0)$ から吊るす状況に対応する）。鎖の位置エネルギーに比例する汎関数 $$U[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$ の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。ただし、$U$ が $\mathcal{A}$ において最小値をとる関数が存在すること、および最小を与える関数がオイラー・ラグランジュ方程式（ラグランジュ乗数つき）の解となるだけの滑らかさをもつことは認めてよい。