オイラーの公式

$i$ を虚数単位とする。複素数
$$z=2e^{\frac{2\pi }{3}i}$$
を、実数 $a,b$ を用いて $a+bi$ の形で表せ。

$i$ を虚数単位とする。オイラーの公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$（$\theta$ は実数）を用いて、複素数 $e^{\frac{2\pi }{3}i}$ を $a+bi$（$a$, $b$ は実数）の形で表せ。

$i$ を虚数単位とする。オイラーの公式を用いて、複素数 $e^{\frac{3\pi }{4}i}$ を $a+bi$（$a$, $b$ は実数）の形で表せ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-3x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定めるとき、$\hat{f}(\omega )$ を $\omega$ の式で求めよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\leqq x\leqq 2)\\ 0& (x<0\text{ または }x>2)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。$\hat{f}\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\leqq x\leqq 2)\\ 0& (x<0\text{ または }x>2)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。$\hat{f}\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。答えは $a+bi$（$a,b$ は実数）の形が分かるように整理して答えよ。

確率変数 $X$ は $-1,0,1$ の値をとり、その確率分布は
$$P(X=-1)=\frac{1}{4},P(X=0)=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{4}$$
であるとする。$i$ を虚数単位、$t$ を実数とするとき、$X$ の特性関数 $\phi (t)=E\left(e^{itX}\right)$ を、虚数単位 $i$ を含まない $t$ の式で表せ。

確率変数 $X$ は、確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
である指数分布に従うとする。$X$ の特性関数 $\phi (t)=E\left(e^{itX}\right)$（$t$ は実数、$i$ は虚数単位）を $t$ の式で求めよ。

確率変数 $X$ は、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3e^{-3x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。$X$ の特性関数 $\phi (t)=E\left(e^{itX}\right)$（$t$ は実数、$i$ は虚数単位）を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とする。確率変数 $X_n$ は、パラメータ $\frac{1}{n}$ の幾何分布に従うとする。すなわち
$$P(X_n=k)=\frac{1}{n}{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
である。$Y_n=\frac{X_n}{n}$ とおく。$Y_n$ の特性関数 ${\phi }_{Y_n}(t)=E\left[e^{it{Y}_n}\right]$ の $n\to \infty$ における極限を求めて $Y_n$ の分布の極限を決定し、それを用いて極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_n>2n)$$
を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で同じ分布に従い、
$$P(X_k=1)=\frac{1}{4},P(X_k=-1)=\frac{1}{4},P(X_k=0)=\frac{1}{2}$$
を満たすとする。正の整数 $n$ に対して $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ の特性関数を
$${\phi }_n(t)=E\left(e^{it{S}_n/\sqrt{n}}\right)(t\text{ は実数})$$
とする。実数 $t$ を固定したときの極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(t)$ を $t$ の式で求めよ。ただし $i$ は虚数単位である。

確率変数 $X_1,X_2,\dots$ は独立同分布で、各 $X_k$ は
$$P(X_k=-1)=P(X_k=0)=P(X_k=1)=\frac{1}{3}$$
をみたすとする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。$t$ を実数とするとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }E\left[e^{it{S}_n/\sqrt{n}}\right]$$
を $t$ の式で求めよ。ただし $i$ は虚数単位とする。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立同分布で、各 $X_k$ は
$$P(X_k=-1)=P(X_k=0)=P(X_k=1)=\frac{1}{3}$$
を満たすとする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ の特性関数を
$${\phi }_n(t)=E\left[\exp \left(it\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right)\right](t\text{ は実数})$$
とする。$t$ を固定した実数とするとき、極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(t)$ を $t$ の式で求めよ。

質量 $m$ の粒子が、周の長さ $L$ の円周上を自由に運動している（ポテンシャルは $0$）。円周にそった座標を $x(0\leqq x<L)$ とし、波動関数は周期境界条件 $\psi (x+L,t)=\psi (x,t)$ を満たすとする。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、ハミルトニアンは $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ とする。

時刻 $t=0$ に、粒子は次の規格化された状態にあった。
$$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2L}}\left(1+e^{2\pi ix/L}\right)$$
この粒子を点 $x=0$ の近くに見いだす確率密度 $|\psi (0,t){|}^2$ は、時刻 $t=0$ で最大になっている。$t>0$ で $|\psi (0,t){|}^2$ がはじめて $0$ になる時刻を、$m,L,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $M$ の同じ原子が、直線上に間隔 $a$ で無限に並んでいる（$M>0$, $a>0$）。隣り合う原子どうしだけが、ばね定数 $K(K>0)$ の軽いばねでつながれており、原子は直線に沿った方向にだけ微小振動する。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とすると、運動方程式は
$$M{\ddot{u}}_n=K(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})(n\text{ は整数})$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$, $\omega >0$）を考える。波数が $k=\frac{\pi }{2a}$ のときの、群速度 $v_{\mathrm{g}}=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_{\mathrm{g}}}{v_{\mathrm{p}}}$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。$T>0$ を実数の定数とするとき、期待値
$$E\left[e^{W_T}\cos W_T\right]$$
を $T$ の式で求めよ。

長さ $N=4$ の離散時間信号
$$x[0]=1,x[1]=2,x[2]=0,x[3]=-1$$
を考える。この信号の離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}(k=0,1,2,3)$$
で定義する。ここで $j$ は虚数単位である。$X[1]$ の値を $a+bj$（$a,b$ は実数）の形で求めよ。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=x[n]-x[n-1]+x[n-2]$$
で表される離散時間の FIR フィルタを考える（$n$ は整数）。このフィルタの伝達関数 $H(z)$ を $z$ 変換で求め、$z=e^{j\omega }$ を代入して周波数特性 $H(e^{j\omega })$ を得る。ここで $j$ は虚数単位、$\omega$ は正規化角周波数（単位 rad/sample）である。

$0\le \omega \le \pi$ の範囲で振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ が $0$ となる $\omega$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=e^{-2|x|}$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$\hat{f}(\omega )$ を計算し、フーリエの反転公式
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
を用いて、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\cos 3\omega }{{\omega }^2+4}d\omega$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。ラプラス変換の性質 $\mathcal{L}[t^{n}f(t)](s)=(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$（$n$ は正の整数）などを用いて、定積分
$$I={\int }_0^{\infty }{t}^3{e}^{-2t}\cos tdt$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (0\leqq x\leqq 1)\\ 0& (x<0\text{ または }x>1)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ここで $i$ は虚数単位である。$\hat{f}(\pi )$ の値を求めよ。

留数定理を用いて、次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{2\pi }\frac{\cos 2\theta }{5-4\cos \theta }d\theta$$

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& (|x|\leqq \pi )\\ 0& (|x|>\pi )\end{array}$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$f(x)$ は実数全体で連続かつ区分的に滑らかなので、すべての実数 $x$ で反転公式
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
が成り立つ（右辺の積分は収束する）ことを用いてよい。

まず $\hat{f}(\omega )$ を求め、それを用いて広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\sin (\pi \omega )\sin \frac{\pi \omega }{3}}{1-{\omega }^2}d\omega$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数は $\omega =1$ で連続になるように値を定めるものとする。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x{e}^{-|x|}$ を考える。関数 $u(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx,u(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
で定める（$x$, $\omega$ は実数）。$f(x)$ は連続かつ絶対可積分で、$\hat{f}(\omega )$ も絶対可積分であり、上の反転公式はすべての実数 $x$ で成り立つとしてよい。$\hat{f}(\omega )$ を求め、反転公式を用いて、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\omega \sin 2\omega }{(1+{\omega }^2{)}^2}d\omega$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $e$ と $\pi$ を用いて表せ。

正弦関数の無限積表示
$$\sin (\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)(z\in \mathbb{C})$$
において、部分積 $P_N(z)=\pi z{\prod }_{n=1}^N\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$ が $N\to \infty$ のとき $\mathbb{C}$ 上で広義一様に $\sin (\pi z)$ に収束することは用いてよい。また、正則関数列が領域上で広義一様に収束するとき、その導関数の列も極限関数の導関数に広義一様に収束すること（ワイエルシュトラスの定理）も用いてよい。

これらを用いて、任意の実数 $a>0$ に対して
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+a^2}=\frac{\pi a\coth (\pi a)-1}{2a^2}$$
が成り立つことを証明せよ。ここで $\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}$ である。

留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。
$${\int }_0^{\infty }\frac{\cos 2x}{\cosh \pi x}dx$$
ただし $\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ である。

留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \pi x}{x^2+2x+5}dx$$

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega (\omega ,x\text{ は実数})$$
で定める。関数
$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}+\frac{1}{x^2-2x+2}$$
について、まず $\hat{f}(\omega )$ を求め、それを用いて定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x{)}^{2}dx$$
の値を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,2])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^2\min (x,y)f(y)dy(f\in L^2([0,2]),x\in [0,2])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値を重複度（固有空間の次元）の分だけ繰り返して並べたものを ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_3\ge \cdots$ とする。無限積
$$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\lambda }_n\right)$$
の値を求めよ。

質量 $m$ の粒子が、半径 $a$ の円周上に束縛されて運動している。円周上の位置を角度 $\varphi$（$0\le \varphi <2\pi$）で表す。非摂動ハミルトニアンは
$$H_0=-\frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2}\frac{d^2}{d{\varphi }^2}$$
であり、周期境界条件 $\psi (\varphi +2\pi )=\psi (\varphi )$ のもとで、規格化された固有関数と固有値は
$${\psi }_n(\varphi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{in\varphi },E_n^{(0)}=\frac{n^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$
である。この粒子に摂動
$$V(\varphi )=V_0\cos (2\varphi )$$
を加える。ここで $V_0$ は実数の定数で、$|V_0|\ll \frac{{\hslash }^2}{m{a}^2}$ とする。

摂動がないとき $n=\pm 2$ の 2 つの状態は縮退している（エネルギー $\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}$）。摂動を加えたとき、この縮退した準位から生じる 2 つの準位のエネルギーを、$V_0$ の 2 次までの摂動論で求めよ。答えは、エネルギーの大きい方、小さい方の順に組で、$m$, $a$, $\hslash$, $V_0$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとり、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}$ をそれぞれの軸の正の向きの単位ベクトルとする。一様な静磁場 $\mathbf{B}=B_0\hat{\mathbf{z}}$（$B_0>0$）がある。電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子のサイクロトロン角振動数を ${\omega }_c=\frac{q{B}_0}{m}$ とする。

この領域に、空間的に一様で、$xy$ 平面内を回転する電場
$$\mathbf{E}(t)=E_0\left(\cos {\omega }_{c}t\hat{\mathbf{x}}-\sin {\omega }_{c}t\hat{\mathbf{y}}\right)(E_0>0)$$
を加える（サイクロトロン共鳴加熱のモデル）。時刻 $t=0$ に粒子は原点に静止していた。

粒子の運動は非相対論的に扱い、重力・放射による損失・電場とともに生じる磁場の変化は無視する。SI 単位系を用いる。

$N$ を正の整数とするとき、時刻 $t=\frac{2\pi N}{{\omega }_c}$ における粒子の原点からの距離を、$m,q,E_0,B_0,N$ を用いて表せ。

区間 $0\le x\le \frac{\pi }{2}$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+y=4x\cos x$$ と境界条件 $y(0)=0$, $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

SI 単位系で、真空中に、屈折率 $n=2$ の一様な誘電体でできた厚さ $d$ の平行平板（$0\le z\le d$、$x$, $y$ 方向には十分に広い）が置かれている。誘電体は非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。真空中での波長が ${\lambda }_0$ の単色の平面電磁波が、$z<0$ の側から板の表面に垂直に入射する。板の厚さは $d=\frac{{\lambda }_0}{16}$ である。

板の内部での多重反射をすべて考慮して、入射波の強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均）に対する、$z>d$ の側へ透過する波の強度の比を、既約分数で求めよ。

弱電離ガスの中に、$z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がかかっている。電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ のイオンは、ローレンツ力 $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ のほかに、中性粒子との衝突による平均的な抵抗力として、速度に比例する力
$$\mathbf{F}=-m\nu \mathbf{v}$$
を受けるとする。ここで $\nu$（$\nu >0$）は一定の衝突周波数である。電場と重力は無視し、運動は非相対論的に扱う。

時刻 $t=0$ にこのイオンは原点にあり、速度は $\mathbf{v}(0)=(u,0,w)$（$u>0$, $w>0$）であった。イオンは十分長い時間ののちにある点に限りなく近づいて止まる。その点と原点との距離を、$u$, $w$, $\nu$, $q$, $B$, $m$ を用いて表せ。

$\pi \cot \pi z$ の部分分数展開
$$\pi \cot \pi z=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2z}{z^2-n^2}(z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{Z})$$
を用いてよいものとする。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4+4}$$
の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とし、答えは双曲線関数を使わずに $\pi$ と $e^{2\pi }$ を用いて表せ。

$a$ を $a>1$ を満たす実数、$n$ を $0$ 以上の整数とする。このとき
$${\int }_0^{2\pi }\frac{\cos n\theta }{a-\cos \theta }d\theta =\frac{2\pi {\left(a-\sqrt{a^2-1}\right)}^n}{\sqrt{a^2-1}}$$
が成り立つことを、留数定理を用いて証明せよ。

$N$ を $2$ 以上の整数とし、$j$ を虚数単位とする。周波数が DFT のビン間隔のちょうど半分である複素正弦波系列
$$x[n]=e^{j\pi n/N}(n=0,1,\dots ,N-1)$$
を考え、その $N$ 点離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。このとき
$$S=\sum _{k=0}^{N-1}{\left|X[k]\right|}^4$$
を $N$ の式で求めよ。