確率・統計の問題

方針 特性関数は、積率母関数 $E(e^{tX})$ の $t$ を $it$ に置きかえたものです。連続型確率変数なので、期待値は確率密度関数を掛けて積分すれば求められます。

ステップ 1：定義に当てはめる
$$\phi (t)=E\left(e^{itX}\right)={\int }_0^{\infty }{e}^{itx}\cdot 2e^{-2x}dx=2{\int }_0^{\infty }{e}^{-(2-it)x}dx$$

ステップ 2：複素数の指数の原始関数
オイラーの公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ を使って実部と虚部に分けて微分すると、実数のときと同じように、複素数の定数 $c$ について $\frac{d}{dx}{e}^{cx}=c{e}^{cx}$ が成り立ちます。$c=-(2-it)\ne 0$ とすると、$e^{-(2-it)x}$ の原始関数は $-\frac{e^{-(2-it)x}}{2-it}$ です。

ステップ 3：広義積分の計算
$$2{\int }_0^R{e}^{-(2-it)x}dx=2{\left[-\frac{e^{-(2-it)x}}{2-it}\right]}_0^R=\frac{2}{2-it}\left(1-e^{-(2-it)R}\right)$$
ここで $e^{-(2-it)R}=e^{-2R}\left(\cos tR+i\sin tR\right)$ であり、その絶対値は $e^{-2R}$ です。$R\to \infty$ のとき $e^{-2R}\to 0$ なので、$e^{-(2-it)R}\to 0$ となります。よって
$$\phi (t)=\underset{R\to \infty }{\lim }\frac{2}{2-it}\left(1-e^{-(2-it)R}\right)=\frac{2}{2-it}$$

確認 $t=0$ のとき $\phi (0)=1$ となり、特性関数の性質 $\phi (0)=E(1)=1$ と合います。なお、分母を実数化すると $\frac{2(2+it)}{4+t^2}$ とも書けます。

答え：$\phi (t)=\frac{2}{2-it}$

$\phi (t)={\int }_0^{\infty }{e}^{itx}\cdot 2e^{-2x}dx=2{\int }_0^{\infty }{e}^{-(2-it)x}dx$。$\mathrm{Re}(2-it)=2>0$ なので $x\to \infty$ で被積分関数は 0 に収束し、積分は $\frac{1}{2-it}$。よって $\phi (t)=\frac{2}{2-it}$。検算: $t=0$ のとき $\phi (0)=1$ で正しい。また ${\phi }^{\prime }(0)=\frac{2i}{(2-it{)}^2}{|}_{t=0}=\frac{i}{2}$ より $E(X)={\phi }^{\prime }(0)/i=1/2$ となり、平均 $1/\lambda =1/2$ と一致する。