独立な試行と反復試行

独立な試行の確率の積と、反復試行の確率 $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ を使える

前提

確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）

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算数中学高校大学大学院

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樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）

説明

サイコロを何回か投げる、コインを続けて投げるなど、互いに影響しない試行を組み合わせたときの確率を、それぞれの確率の積で求められるようになります。さらに、同じ試行を $n$ 回繰り返したとき、ある事象がちょうど $r$ 回起こる確率を公式 $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ で一気に計算できるようになります。根元事象を全部数え上げなくても、繰り返しの確率が求められます。

なぜそうしてよいのか

2つの試行の結果が互いに影響しないとき、これらの試行は独立であるといいます。たとえば、サイコロ（6通り）とコイン（2通り）を同時に投げると、積の法則より根元事象は $6 \times 2 = 12$ 通りで、どれも同様に確からしいです。「サイコロで1の目」（1通り）かつ「コインで表」（1通り）となる結果は $1 \times 1 = 1$ 通りなので、確率は $\frac{1 \times 1}{6 \times 2} = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2}$ です。一般に、試行 $S$ の事象 $A$ と試行 $T$ の事象 $B$ について、 $A$ かつ $B$ の起こる場合の数は（ $A$ の場合の数）×（ $B$ の場合の数）、全体も（ $S$ の全体）×（ $T$ の全体）と積の法則で数えられるので、 $P (A かつ B) = P (A) \times P (B)$ が成り立ちます。3つ以上の独立な試行でも同じです。

次に、1回あたり事象 $A$ の起こる確率が $p$ である試行を $n$ 回繰り返す場合を考えます（毎回の試行は独立です）。各回に「 $A$ が起こる（○）」か「起こらない（×）」かを並べると、たとえば $n = 5$ で「○○×××」という特定の並びになる確率は、独立な試行の積から $p \cdot p \cdot (1 - p) (1 - p) (1 - p) = p^{2} (1 - p)^{3}$ です。○が2個、×が3個の並びなら、順番が違ってもこの値は同じです。

$A$ がちょうど $r$ 回起こるのは、 $n$ 回のうち○になる $r$ 回を選ぶ選び方の数、つまり $_{n} C_{r}$ 通りの並びのどれかが起こる場合です。異なる並びは同時には起こらない（互いに排反）ので、加法定理によりそれらの確率を足して、 $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ が得られます。これが反復試行の確率です。

手順

1回の試行で注目する事象 $A$ を決め、その確率 $p$ と、起こらない確率 $1 - p$ を求める
各回の試行が独立（前の結果が次に影響しない）であることを確かめ、繰り返す回数 $n$ と、 $A$ が起こる回数 $r$ を決める
$A$ が $r$ 回起こる回の選び方の数 $_{n} C_{r}$ を計算する
公式 $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ に代入して計算し、約分する（「少なくとも1回」などは余事象を使って $1 - (1 - p)^{n}$ とする）

例題

1個のサイコロを5回続けて投げるとき、1の目がちょうど2回出る確率を求めよ。

例題の解答

手順1：注目する事象を「1の目が出る」とすると、1回あたりの確率は $p = \frac{1}{6}$ 、出ない確率は $1 - p = \frac{5}{6}$ です。
手順2：サイコロを投げる各回は互いに影響しないので独立です。繰り返す回数は $n = 5$ 、1の目が出る回数は $r = 2$ です。
手順3：5回のうち1の目が出る2回の選び方は $_{5} C_{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$ 通りです。
手順4：公式に代入すると、 $_{5} C_{2} (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{3} = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}$ となります。

答え: $\frac{625}{3888}$

よくある誤り

$_{n} C_{r}$ を掛け忘れて、 $(\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{3}$ だけを答えてしまう誤り。これは「1回目と2回目だけが1」のような特定の1つの並びの確率です。正しくは、何回目に出るかの選び方 $_{5} C_{2} = 10$ 通りを掛けて $10 (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{3}$ とします。
選び方を $_{5} P_{2} = 20$ としてしまう誤り。○の2回は区別せず「どの回か」を選ぶだけなので、順序を考えない $_{5} C_{2} = 10$ が正しいです。
「少なくとも1回1の目が出る」確率を、 $5 \times \frac{1}{6}$ のように足してしまう誤り（これは $n = 7$ なら1を超えてしまいます）。正しくは余事象「1回も出ない」を使い、 $1 - (\frac{5}{6})^{5}$ とします。
独立でない試行に積や反復試行の公式を使ってしまう誤り。たとえば、取り出した玉を戻さずに続けて引くときは、2回目の確率が1回目の結果で変わるので、 $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ は使えません。毎回もとに戻す（条件が毎回同じ）ときにだけ使えます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

二項分布（数学B 統計的な推測）
誤り訂正能力と復号の成功確率（大学数学情報理論・符号理論）
ハッシュの衝突の期待値（大学数学アルゴリズムと計算量）
同位体の組合せと分子の質量の分布（高校化学物質の構成と化学結合）
人工 RNA のコドンの出現確率（高校生物遺伝情報とその発現）
減数分裂と染色体の組み合わせ（高校生物遺伝と生殖・発生）
標識再捕法の応用（標識の脱落・個体の加入）（高校生物生態と環境）
配置の数と残余エントロピー（大学化学統計熱力学）