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場合の数と確率の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 場合の数と確率

1 個のさいころを 4 回続けて投げるとき、 $1$ の目がちょうど $2$ 回出る確率を求めよ。

この問題で使うもの

独立な試行と反復試行（説明と入口の問題）
組合せ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「独立な試行と反復試行」を使います。同じ試行を 4 回くり返す反復試行とみなしましょう。

ヒント 2

1 回で $1$ の目が出る確率を $p$ として、 $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ に当てはめます。 $n, r, p$ はそれぞれいくつでしょうか。

ヒント 3

$p = \frac{1}{6}$ なので、求める確率は $_{4} C_{2} (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2}$ です。あとはこれを計算します。

答えと解説

答えを見る

\frac{25}{216}

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解説を読む

反復試行とみなせることの確認

さいころを 1 回投げる試行を 4 回くり返します。各回の結果はほかの回の結果に影響しないので、これらは独立な試行です。

1 回投げたとき、 $1$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ 、出ない確率は $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ です。

1 つの出方の確率（独立な試行の確率の積）

たとえば「1 回目と 2 回目に $1$ が出て、3 回目と 4 回目に $1$ が出ない」という出方の確率は、各回の確率の積です。
$\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2}$
どの 2 回に $1$ が出る出方でも、確率はこれと同じです。

出方の数（組合せ）

4 回のうち $1$ の目が出る 2 回の選び方は $_{4} C_{2} = 6$ 通りです。これらの出方は互いに排反です。

反復試行の確率

したがって、求める確率は反復試行の確率の公式 $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ で $n = 4, r = 2, p = \frac{1}{6}$ として
$_{4} C_{2} (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2} = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

よって、答えは $\frac{25}{216}$ です。

別解

反復試行の確率。1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ 、出ない確率は $\frac{5}{6}$ 。4回のうち1の目がちょうど2回出る確率は $_{4} C_{2} (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2} = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$ 。検算：全場合 $6^{4} = 1296$ 通りのうち、1の目になる2回の選び方 $_{4} C_{2} = 6$ 通り、残り2回は各5通りで $25$ 通り。よって $150/1296 = 25/216$ 。

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