確率・統計の問題

手順 1：$X$ の分布を求める。

1 回の試行で $1$ または $2$ の目が出る確率は $p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$、出ない確率は $1-p=\frac{2}{3}$ である。各回の試行は独立である。

$X=k$ となるのは、はじめの $k-1$ 回はすべて $1,2$ 以外の目が出て、$k$ 回目に $1$ または $2$ の目が出るときである。よって $X$ は幾何分布に従い、
$$P(X=k)={\left(\frac{2}{3}\right)}^{k-1}\cdot \frac{1}{3}(k=1,2,3,\dots )$$
となる。

手順 2：偶数の値についての確率を級数で足し合わせる。

$X$ が偶数となるのは $X=2m$（$m=1,2,3,\dots$）のときである。これらの事象は互いに排反なので、
$$P(X\text{ が偶数})=\sum _{m=1}^{\infty }P(X=2m)=\sum _{m=1}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2m-1}\cdot \frac{1}{3}$$
となる。

手順 3：無限等比級数の和を計算する。

第 $m$ 項は
$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2m-1}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^{m-1}=\frac{2}{9}{\left(\frac{4}{9}\right)}^{m-1}$$
と書ける。これは初項 $\frac{2}{9}$、公比 $\frac{4}{9}$ の無限等比級数である。$\left|\frac{4}{9}\right|<1$ なので収束し、その和は
$$\frac{\frac{2}{9}}{1-\frac{4}{9}}=\frac{\frac{2}{9}}{\frac{5}{9}}=\frac{2}{5}$$
である。

したがって $P(X\text{ が偶数})=\frac{2}{5}$ である。

1 回の試行で 1 または 2 の目が出る確率は $p=2/6=1/3$、出ない確率は $q=2/3$ である。$X$ は幾何分布に従い、$P(X=k)=q^{k-1}p$ $(k=1,2,\dots )$ となる。

$X$ が偶数となる確率は
$$\sum _{m=1}^{\infty }P(X=2m)=\sum _{m=1}^{\infty }{q}^{2m-1}p=pq\sum _{m=0}^{\infty }(q^2{)}^m=\frac{pq}{1-q^2}.$$

$p=1/3,q=2/3$ を代入すると、$pq=2/9$、$1-q^2=1-4/9=5/9$ なので、
$$\frac{2/9}{5/9}=\frac{2}{5}.$$

検算: 1 回目で終わる（$X=1$）確率は $1/3$ である。$1$ 回目で終わらなければ（確率 $2/3$）、以降は同じ状況が繰り返される。$X$ が奇数となる確率を $a$ とおくと、偶数となる確率は $1-a$ であり、$a=p+q(1-a)$ が成り立つ。これを解くと $a=\frac{1/3+2/3}{1+2/3}=\frac{1}{5/3}=3/5$ である。よって偶数となる確率は $1-3/5=2/5$ となり、先の結果と一致する。