確率・統計の問題

1 個のさいころを投げ、出た目を $Y$ とする。次に、$1$ から $Y$ までの整数が 1 つずつ書かれた $Y$ 枚のカードから 1 枚を無作為に取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

$1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころを $2$ 回投げ、出た目を順に $D_1,D_2$ とする。$X=\min (D_1,D_2)$, $Y=\max (D_1,D_2)$ とおくとき、共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を求めよ。

確率変数 $Y$ は値 $1,2,3$ をとり、その確率は
$$P(Y=1)=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{3},P(Y=3)=\frac{1}{6}$$
である。$Y=y$ $(y=1,2,3)$ が与えられたとき、確率変数 $X$ の条件付き分布は、$1$ から $2y$ までの整数 $1,2,\dots ,2y$ のそれぞれを確率 $\frac{1}{2y}$ でとる分布である。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ は値 $1,2,3$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}$ でとる。$X$ の積率母関数 $M(t)=E\left(e^{tX}\right)$（$t$ は実数）を用いて、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ をこの順に求めよ。

1 個のさいころを、$1$ または $2$ の目が出るまで繰り返し投げる。$1$ または $2$ の目がはじめて出るまでに投げた回数（その回を含む）を $X$ とする。$X$ が偶数となる確率 $P(X\text{ が偶数})$ を求めよ。