確率・統計の問題

手順 1：確率分布を求める（幾何分布）

1 回の操作で赤玉が出る確率は $p=\frac{1}{4}$、白玉が出る確率は $1-p=\frac{3}{4}$ である。玉を毎回戻すので、各回の操作は独立である。$X=k$ となるのは、最初の $k-1$ 回がすべて白玉で、$k$ 回目に赤玉が出るときだから
$$P(X=k)={\left(\frac{3}{4}\right)}^{k-1}\cdot \frac{1}{4}(k=1,2,3,\dots )$$
である。これは成功確率 $\frac{1}{4}$ の幾何分布である。

手順 2：期待値を級数で表す

$$E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }k\cdot \frac{1}{4}{\left(\frac{3}{4}\right)}^{k-1}=\frac{1}{4}\sum _{k=1}^{\infty }k{x}^{k-1}\left(x=\frac{3}{4}\right)$$

手順 3：級数 $\sum k{x}^{k-1}$ の和を求める

$0<x<1$ として、部分和を $S_n={\sum }_{k=1}^{n}k{x}^{k-1}$ とおく。
$$S_n=1+2x+3x^2+\cdots +n{x}^{n-1}$$
$$x{S}_n=x+2x^2+\cdots +(n-1)x^{n-1}+n{x}^n$$
辺々引くと
$$(1-x)S_n=1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}-n{x}^n=\frac{1-x^n}{1-x}-n{x}^n$$
$0<x<1$ より $x^n\to 0$、$n{x}^n\to 0$ $(n\to \infty )$ なので
$$\sum _{k=1}^{\infty }k{x}^{k-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$
（等比級数 $\sum x^k=\frac{1}{1-x}$ を項別微分しても同じ式が得られる。）

手順 4：値を代入する

$x=\frac{3}{4}$ のとき $\frac{1}{(1-x{)}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=16$ だから
$$E(X)=\frac{1}{4}\cdot 16=4$$

（一般に、成功確率 $p$ の幾何分布の期待値は $\frac{1}{p}$ であり、$p=\frac{1}{4}$ のとき $4$ となることと一致する。）

1回の操作で赤玉が出る確率は $p=\frac{1}{4}$ である。取り出した玉は毎回袋に戻すので、各回の操作は独立であり、$X$ は幾何分布に従う。$P(X=k)={\left(\frac{3}{4}\right)}^{k-1}\cdot \frac{1}{4}$（$k=1,2,\dots$）。

期待値は $E(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }kp{q}^{k-1}$（$q=\frac{3}{4}$）である。$|q|<1$ のとき ${\sum }_{k\ge 1}k{q}^{k-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}$ なので、$E(X)=\frac{p}{(1-q{)}^2}=\frac{p}{p^2}=\frac{1}{p}=4$。

検算: 初めの1回で赤が出れば $X=1$、白が出れば（確率 $\frac{3}{4}$）操作を最初からやり直すので、$E=1+\frac{3}{4}E$ となる。これを解いて $E=4$。一致する。