確率・統計の問題

$N=N_1+N_2$ と分解する。
- $N_1$: 投げ始めてから、$1$ または $2$ の目が初めて出るまでの回数。
- $N_2$: その後、まだ出ていない方の目（$1$ か $2$ のうち残った方）が初めて出るまでの追加の回数。

各回の試行は独立なので、$N_1$ は成功確率 $p_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ の幾何分布、$N_2$ は成功確率 $p_2=\frac{1}{6}$ の幾何分布に従い、$N_1$ と $N_2$ は独立である（$N_2$ は $N_1$ 回目より後の試行だけで決まり、どちらの目が残ったかによらず成功確率は $\frac{1}{6}$）。

成功確率 $p$ の幾何分布 $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,\dots )$ の分散は $\frac{1-p}{p^2}$ である。よって
$$V(N_1)=\frac{1-\frac{1}{3}}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2}{3}\cdot 9=6,V(N_2)=\frac{1-\frac{1}{6}}{{\left(\frac{1}{6}\right)}^2}=\frac{5}{6}\cdot 36=30.$$
独立性より
$$V(N)=V(N_1)+V(N_2)=6+30=36.$$
（参考: $E[N]=3+6=9$。）

$N=T_1+T_2$ と分解する。$T_1$ は 1 か 2 のどちらかが初めて出るまでの回数で、成功確率 $p_1=1/3$ の幾何分布。その後、まだ出ていない方の目が出るまでの回数 $T_2$ は成功確率 $p_2=1/6$ の幾何分布で、$T_1,T_2$ は独立。幾何分布の分散は $(1-p)/p^2$ なので、$V(T_1)=\frac{2/3}{1/9}=6$、$V(T_2)=\frac{5/6}{1/36}=30$。よって $V(N)=36$。検算: $E[N]=3+6=9$。包除原理 $E[N]=\frac{1}{1/6}+\frac{1}{1/6}-\frac{1}{1/3}=6+6-3=9$ と一致。