確率・統計の問題

$q=1-p$ とおく。直近の結果の連続状況を状態として、マルコフ連鎖で考える。状態は次のとおりである。

• $S$：まだ $1$ 回も投げていない
• $H_1$：直近で表がちょうど $1$ 回連続している
• $H_2$：直近で表がちょうど $2$ 回連続している
• $T_1$：直近で裏がちょうど $1$ 回連続している
• $W$：表が $3$ 回連続した（吸収状態）
• $L$：裏が $2$ 回連続した（吸収状態）

推移は次のとおりである。

• $S$：表なら $H_1$、裏なら $T_1$
• $H_1$：表なら $H_2$、裏なら $T_1$
• $H_2$：表なら $W$、裏なら $T_1$
• $T_1$：表なら $H_1$、裏なら $L$

各状態から出発して $L$ より先に $W$ に到達する確率を $x_S,x_1,x_2,y$（それぞれ $S,H_1,H_2,T_1$ から）とおく。$1$ 回目の推移で場合分けする（第一歩解析）と、
$$x_2=p+qy(1)$$
$$x_1=p{x}_2+qy(2)$$
$$y=p{x}_1(3)$$
$$x_S=p{x}_1+qy(4)$$
が成り立つ。

$(1)$ を $(2)$ に代入すると
$$x_1=p^2+pqy+qy=p^2+q(1+p)y$$
となる。さらに $(3)$ を代入すると
$$x_1=p^2+pq(1+p)x_1$$
となる。ここで $1-pq(1+p)=1-p(1-p)(1+p)=1-p+p^3>0$ なので、
$$x_1=\frac{p^2}{1-p+p^3}$$
が得られる。

$(4)$ と $(3)$ より
$$x_S=p{x}_1+qp{x}_1=p(1+q)x_1=p(2-p)x_1$$
である。したがって
$$x_S=\frac{p^3(2-p)}{1-p+p^3}$$
となる。

（確認）$p=\frac{1}{2}$ のとき $x_S=\frac{\frac{1}{8}\cdot \frac{3}{2}}{\frac{5}{8}}=\frac{3}{10}$ である。また $p\to 1$ で $1$、$p\to 0$ で $0$ に近づき、直感と合う。

なお、どの非吸収状態からも高々 $3$ 回の推移で確率が正のまま吸収状態に到達できるので、試行は確率 $1$ で有限回で終わる。よって到達確率は上の連立方程式の解として一意に決まる。

表の確率を $p$、裏の確率を $q=1-p$ とおく。直前までの状態ごとに、最終的に「表が3回連続」で終わる確率を定める。

• $a$: 開始時
• $h_1$: 直前が表1回（表が1回連続）
• $h_2$: 直前が表2回連続
• $t$: 直前が裏（裏が1回連続）

各状態から次の1回で遷移すると、次の連立方程式が得られる。
- $t=p{h}_1+q\cdot 0=p{h}_1$（裏が出ると裏2連続で終了）
- $h_1=p{h}_2+qt$
- $h_2=p\cdot 1+qt$
- $a=p{h}_1+qt$

$h_2$ を $h_1$ の式に代入すると $h_1=p^2+(pq+q)t=p^2+q(1+p)t$。$t=p{h}_1$ より
$h_1(1-pq(1+p))=p^2$。

ここで $1-pq(1+p)=1-p(1-p^2)=1-p+p^3$ なので、
$h_1=\frac{p^2}{1-p+p^3}$、$t=\frac{p^3}{1-p+p^3}$。

よって
$a=p{h}_1+qt=\frac{p^3+(1-p)p^3}{1-p+p^3}=\frac{p^3(2-p)}{1-p+p^3}$。

検算：$p=1/2$ のとき $h_1=0.25/0.625=0.4$、$t=0.2$、$a=0.5\cdot 0.4+0.5\cdot 0.2=0.3$。公式からも $\frac{(1/8)(3/2)}{5/8}=0.3$ で一致する。また $p\to 1$ のとき $a\to 1$ となり妥当である。