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場合の数と確率の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 場合の数と確率

ある選手がバスケットボールのフリースローを $1$ 回投げるとき、成功する確率は $\frac{2}{3}$ である。この選手がフリースローを $4$ 回投げるとき、ちょうど $3$ 回成功する確率を求めよ。ただし、各回の成功・失敗は他の回の結果に影響しないものとする。

この問題で使うもの

独立な試行と反復試行（説明と入口の問題）
組合せ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

反復試行の確率 $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ を使います。 $n$ 、 $r$ 、 $p$ がそれぞれ何にあたるかを考えましょう。

ヒント 2

$n = 4$ 、 $r = 3$ 、 $p = \frac{2}{3}$ 、失敗する確率は $1 - p = \frac{1}{3}$ です。

ヒント 3

求める確率は $_{4} C_{3} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{1}$ で、 $_{4} C_{3} = 4$ 、 $(\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}$ です。

答えと解説

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\frac{32}{81}

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解説を読む

各回のフリースローの成功・失敗は他の回に影響しないので、 $4$ 回の投球は独立な試行の繰り返し（反復試行）とみなせます。

$1$ 回の投球で成功する確率は $p = \frac{2}{3}$ 、失敗する確率は $1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ です。

手順 1：成功する回の選び方を数える

$4$ 回のうちどの $3$ 回で成功するかの選び方は $_{4} C_{3} = 4$ 通りです（例：成成成失、成成失成、成失成成、失成成成）。

手順 2：1 つの並び方の確率を求める

例えば「成成成失」となる確率は、独立な試行の確率の積より
$\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{1} = \frac{8}{81}$
です。ほかの並び方でも、掛ける数の順番が変わるだけなので確率は同じ $\frac{8}{81}$ です。

手順 3：足し合わせる

これら $4$ 通りの事象は互いに排反なので、求める確率は
$_{4} C_{3} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{1} = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$
となります。

別解

反復試行の確率より、ちょうど3回成功する確率は $_{4} C_{3} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{1} = 4 \cdot \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$ 。検算：成功3回・失敗1回の並びは4通りで、各確率は $\frac{8}{81}$ なので、合計は $\frac{32}{81}$ 。

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