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場合の数と確率の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 場合の数と確率

赤玉 $3$ 個、白玉 $2$ 個、青玉 $1$ 個の合計 $6$ 個の玉を、横 $1$ 列に並べる。並べ方は全部で何通りあるか求めよ。ただし、同じ色の玉どうしは区別しないものとする。

この問題で使うもの

同じものを含む順列・重複組合せ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（6 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

同じ色の玉は区別しないので、「同じものを含む順列」の公式 $\frac{n !}{p ! q ! r !}$ を使います。

ヒント 2

全部で $n = 6$ 個、同じものは赤が $3$ 個、白が $2$ 個、青が $1$ 個です。式は $\frac{6 !}{3 ! 2 ! 1 !}$ になります。

ヒント 3

$6! = 720$ 、 $3! 2! 1! = 6 \times 2 \times 1 = 12$ です。あとは割り算をしましょう。

答えと解説

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60

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解説を読む

同じ色の玉は区別しないので、同じものを含む順列の公式を使います。

手順 1：何個のものを並べるかを確認する

並べる玉は全部で $3 + 2 + 1 = 6$ 個です。そのうち、赤玉 $3$ 個は互いに同じもの、白玉 $2$ 個も互いに同じもの、青玉は $1$ 個です。

手順 2：公式にあてはめる

$n$ 個のうち同じものがそれぞれ $p$ 個、 $q$ 個、 $r$ 個ある（ $p + q + r = n$ ）とき、それらを $1$ 列に並べる方法は
$\frac{n !}{p ! q ! r !} 通り$
です。ここでは $n = 6, p = 3, q = 2, r = 1$ なので
$\frac{6 !}{3 ! 2 ! 1 !} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60$
となります。

（別の考え方）

$6$ か所の並べる位置のうち、赤玉を置く $3$ か所を選ぶ方法は $_{6} C_{3} = 20$ 通りです。残り $3$ か所のうち白玉を置く $2$ か所を選ぶ方法は $_{3} C_{2} = 3$ 通りで、最後の $1$ か所には青玉を置きます。積の法則より $20 \times 3 \times 1 = 60$ 通りとなり、同じ結果が得られます。

よって、並べ方は $60$ 通りです。

別解

同じものを含む順列の公式より、 $\frac{6 !}{3 ! 2 ! 1 !} = \frac{720}{6 \cdot 2} = 60$ 通り。
検算：6か所から赤の位置を選ぶ方法は $_{6} C_{3} = 20$ 通り。残り3か所から白の位置を選ぶ方法は $_{3} C_{2} = 3$ 通り。青は残り1か所に決まる。よって $20 \times 3 = 60$ 通りとなり、一致する。

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