場合の数と確率の問題

並べる 6 個の文字には、同じ文字が含まれています。$\mathrm{a}$ が 3 個、$\mathrm{b}$ が 2 個、$\mathrm{c}$ が 1 個です。

考え方 仮に 6 個の文字をすべて区別して ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,{\mathrm{a}}_3,{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\mathrm{c}$ とすると、並べ方は $6!$ 通りです。

このうち、${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,{\mathrm{a}}_3$ の入れかえ方は $3!$ 通り、${\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2$ の入れかえ方は $2!$ 通りあります。区別をなくすと、これらは同じ並べ方になります。つまり、同じ文字を区別しないときの 1 通りの並べ方が、$6!$ 通りの中では $3!\times 2!$ 通りずつ数えられています。

計算 したがって、同じものを含む順列の公式 $\frac{n!}{p!q!r!}$ を使って
$$\frac{6!}{3!2!1!}=\frac{720}{6\times 2\times 1}=\frac{720}{12}=60$$
となります。

よって、並べ方は $60$ 通りです。

同じものを含む順列の公式より、$\frac{6!}{3!2!1!}=\frac{720}{6\cdot 2}=60$ 通り。
別解：6 か所から a の位置 3 か所を選ぶ方法が ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通り、残り 3 か所から b の位置 2 か所を選ぶ方法が ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通り、c は残りの 1 か所に決まる。よって $20\times 3=60$ 通りで、一致する。