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場合の数と確率の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 場合の数と確率

赤玉 $3$ 個、白玉 $2$ 個、青玉 $1$ 個の合計 $6$ 個の玉を、横一列に並べる。同じ色の玉どうしは区別しないものとするとき、並べ方は全部で何通りあるか。

この問題で使うもの

同じものを含む順列・重複組合せ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（6 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

同じ色の玉を区別しないので、「同じものを含む順列」の公式 $\frac{n !}{p ! q ! r !}$ を使います。

ヒント 2

全部で $n = 6$ 個、同じものの個数は赤 $3$ 個、白 $2$ 個、青 $1$ 個です。 $\frac{6 !}{3 ! 2 ! 1 !}$ を計算しましょう。

ヒント 3

$6! = 720$ 、 $3! 2! 1! = 6 \times 2 \times 1 = 12$ です。あとは割り算をしましょう。

答えと解説

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60

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解説を読む

同じものを含む順列の公式を使います。

$n$ 個のもののうち、同じものがそれぞれ $p$ 個、 $q$ 個、 $r$ 個（ $p + q + r = n$ ）あるとき、それらを $1$ 列に並べる方法の数は
$\frac{n !}{p ! q ! r !}$
です。

考え方：もし $6$ 個の玉がすべて区別できるなら、並べ方は $6!$ 通りです。しかし実際には赤玉 $3$ 個は区別しないので、赤玉どうしを入れかえた $3!$ 通りの並べ方は同じものとして $1$ 通りに数えます。同様に、白玉どうしの入れかえ $2!$ 通り、青玉の $1!$ 通りも $1$ 通りに数えます。したがって $6!$ を $3! \times 2! \times 1!$ で割ります。

計算： $n = 6, p = 3, q = 2, r = 1$ を代入して
$\frac{6 !}{3 ! 2 ! 1 !} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60$

よって、並べ方は $60$ 通りです。

（別解： $6$ か所のうち赤玉を置く $3$ か所を選ぶ方法が $_{6} C_{3} = 20$ 通り、残り $3$ か所のうち白玉を置く $2$ か所を選ぶ方法が $_{3} C_{2} = 3$ 通り、残り $1$ か所に青玉を置くので、 $20 \times 3 = 60$ 通りとしても求められます。）

別解

同じ色の玉は区別しないので、同じものを含む順列の公式を用いる。
$\frac{6 !}{3 ! 2 ! 1 !} = \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} = 60$ （通り）

検算：6か所から赤玉の位置を選ぶ方法は $_{6} C_{3} = 20$ 通り。残り3か所から白玉の位置を選ぶ方法は $_{3} C_{2} = 3$ 通り。青玉の位置は残りの1か所で決まる。よって $20 \times 3 = 60$ 通りとなり、一致する。

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