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場合の数と確率の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 場合の数と確率

ある学校の文化祭で、出し物の準備を手伝ってくれる生徒の候補が $12$ 人いる。この $12$ 人の中から、準備係を $10$ 人選ぶ。選ばれた $10$ 人の間に役割の区別はないものとするとき、選び方は全部で何通りあるか。

この問題で使うもの

組合せ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（5 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

役割の区別がない「選び方」なので、組合せ $_{n} C_{r}$ を使います。

ヒント 2

$12$ 人から $10$ 人を選ぶことは、選ばれない $2$ 人を選ぶことと同じです。 $_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$ を使いましょう。

ヒント 3

$_{12} C_{10} =_{12} C_{2} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1}$ を計算します。

答えと解説

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66

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解説を読む

選ばれた $10$ 人の間には役割の区別がないので、並べる順序は考えません。したがって、異なる $12$ 人から $10$ 人を選ぶ組合せの総数 $_{12} C_{10}$ を求めればよいです。

ステップ 1：性質 $_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$ を使う

$12$ 人から $10$ 人を選ぶことは、選ばれない $2$ 人を選ぶことと同じです。よって
$_{12} C_{10} =_{12} C_{12 - 10} =_{12} C_{2}$
となります。

ステップ 2： $_{12} C_{2}$ を計算する

$_{12} C_{2} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = \frac{132}{2} = 66$

（参考：そのまま $_{12} C_{10} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ を計算しても同じ結果になりますが、性質を使うと計算がずっと短くなります。）

したがって、選び方は $66$ 通りです。

別解

12 人から 10 人を選ぶ組合せの数なので、 $_{12} C_{10} =_{12} C_{2} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$ 通り。検算：選ばれない 2 人を選ぶ方法と一対一に対応するので、 $_{12} C_{2} = 66$ となり一致する。

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