場合の数と確率の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 場合の数と確率

ある部活動には部員が $12$ 人いる。この $12$ 人の中から、試合に出場する $10$ 人を選ぶ。選び方は全部で何通りあるか。ただし、選ぶ $10$ 人の間に順番や役割の区別はないものとする。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（5 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

順番を考えずに何人かを選ぶので、組合せ $_{n} C_{r}$ を使います。

ヒント 2

求める数は $_{12} C_{10}$ です。性質 $_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$ を使うと、計算が楽になります。

ヒント 3

「出場する $10$ 人を選ぶ」ことは「出場しない $2$ 人を選ぶ」ことと同じなので、 $_{12} C_{10} =_{12} C_{2} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1}$ を計算します。

答えを見る

66

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

選ぶ $10$ 人の間に順番の区別はないので、これは異なる $12$ 人から $10$ 人を選ぶ組合せの数です。したがって、選び方は $_{12} C_{10}$ 通りです。

このまま計算すると $10$ 個の数の積の割り算になって大変です。そこで、性質 $_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$ を使います。

この性質が成り立つのは、「 $12$ 人から出場する $10$ 人を選ぶこと」と「 $12$ 人から出場しない $2$ 人を選ぶこと」が、1 対 1 に対応するからです。出場しない $2$ 人が決まれば、残りの $10$ 人が出場する人として決まります。

よって
$_{12} C_{10} =_{12} C_{2}$
です。これを計算すると
$_{12} C_{2} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$
となります。

したがって、選び方は $66$ 通りです。

別解

12人から10人を選ぶ組合せの数なので $_{12} C_{10} =_{12} C_{2} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ (通り)。検算として、選ばない2人の選び方を数えても $_{12} C_{2} = 66$ で一致する。

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる