場合の数と確率の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 場合の数と確率

袋の中に赤玉 $5$ 個と白玉 $3$ 個、合計 $8$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $3$ 個同時に取り出すとき、少なくとも $1$ 個は白玉である確率を求めよ。

この問題で使うもの

確率の定義と和事象・余事象（説明と入口の問題）
組合せ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（6 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「確率の定義と余事象」を使います。「少なくとも $1$ 個は白玉」の余事象は何かを考えましょう。

ヒント 2

余事象は「 $3$ 個とも赤玉」です。 $P (A) = 1 - P (A)$ を使い、玉をすべて区別して組合せ $_{n} C_{r}$ で数えます。

ヒント 3

全体は $_{8} C_{3} = 56$ 通り、 $3$ 個とも赤玉になるのは $_{5} C_{3} = 10$ 通りです。

答えと解説

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\frac{23}{28}

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解説を読む

方針　「少なくとも $1$ 個は白玉」という事象を $A$ とします。 $A$ の余事象 $A$ は「白玉が $1$ 個もない」、つまり「 $3$ 個とも赤玉」です。こちらの方が数えやすいので、余事象の確率 $P (A) = 1 - P (A)$ を使います。

全体の場合の数　 $8$ 個の玉はすべて区別して考えます。こう考えると、 $8$ 個から $3$ 個を選ぶ取り出し方は同様に確からしくなります。その総数は
$_{8} C_{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 （通り）$
です。

余事象の場合の数　 $3$ 個とも赤玉になるのは、赤玉 $5$ 個から $3$ 個を選ぶ場合なので
$_{5} C_{3} =_{5} C_{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 （通り）$
です。よって
$P (A) = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}$
となります。

余事象の確率を使う
$P (A) = 1 - P (A) = 1 - \frac{5}{28} = \frac{23}{28}$

答えは $\frac{23}{28}$ です。

別解

余事象を考える。3個とも赤玉である確率は $_{5} C_{3} /_{8} C_{3} = 10/56 = 5/28$ 。よって、少なくとも1個は白玉である確率は $1 - \frac{5}{28} = \frac{23}{28}$ 。
検算：白玉の個数ごとに数える。白1個は $_{3} C_{1} \cdot_{5} C_{2} = 30$ 、白2個は $_{3} C_{2} \cdot_{5} C_{1} = 15$ 、白3個は $1$ で、合計 $46$ 通り。 $46/56 = 23/28$ となり一致する。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

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プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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