場合の数と確率の問題

事象を次のように定める。
- $E$：最初に取り出した $2$ 個のうち少なくとも $1$ 個が赤玉である
- $F$：残りの $4$ 個から取り出した $1$ 個が赤玉である

求める確率は $P_E(F)=\frac{P(E\cap F)}{P(E)}$ である。さいころの目が $k$ である確率はどの $k$ についても $\frac{1}{6}$ なので、目が $k$ のときの条件付き確率を求めて足し合わせる。

(1) $P(E)$ の計算

目が $k$ のとき、$2$ 個とも白玉である確率は $\frac{{}_{6-k}{\mathrm{C}}_2}{{}_6{\mathrm{C}}_2}=\frac{{}_{6-k}{\mathrm{C}}_2}{15}$ である。よって $E$ の起こる確率は $\frac{15-{}_{6-k}{\mathrm{C}}_2}{15}$ となる。

${}_{6-k}{\mathrm{C}}_2$ の値は、$k=1,2,3,4,5,6$ の順に $10,6,3,1,0,0$ である。したがって $E$ の起こる確率の分子は順に $5,9,12,14,15,15$ で、その和は $70$ である。よって
$$P(E)=\frac{1}{6}\cdot \frac{70}{15}=\frac{7}{9}.$$

(2) $P(E\cap F)$ の計算

目が $k$ のときに $E\cap F$ が起こる場合を、最初の $2$ 個の内訳で分ける。

• $2$ 個とも赤玉のとき：確率は $\frac{{}_k{\mathrm{C}}_2}{15}\cdot \frac{k-2}{4}=\frac{k(k-1)(k-2)}{120}$
• 赤玉 $1$ 個・白玉 $1$ 個のとき：確率は $\frac{k(6-k)}{15}\cdot \frac{k-1}{4}=\frac{2k(k-1)(6-k)}{120}$

この $2$ つを足すと
$$\frac{k(k-1)\{(k-2)+2(6-k)\}}{120}=\frac{k(k-1)(10-k)}{120}$$
となる。

$k(k-1)(10-k)$ の値は、$k=1,2,3,4,5,6$ の順に $0,16,42,72,100,120$ で、その和は $350$ である。よって
$$P(E\cap F)=\frac{1}{6}\cdot \frac{350}{120}=\frac{35}{72}.$$

(3) 結論
$$P_E(F)=\frac{35}{72}÷\frac{7}{9}=\frac{35}{72}\cdot \frac{9}{7}=\frac{5}{8}.$$

さいころの目 $k$ は $1\sim 6$ が等確率 $\frac{1}{6}$。「少なくとも1個赤玉」を事象 $A$、「残り4個から取った1個が赤玉」を事象 $B$ とし、$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ を求める。

【$P(A)$】$k$ のとき、2個とも白玉の確率は $\frac{{}_{6-k}{C}_2}{15}$ なので $P(A\mid k)=1-\frac{{}_{6-k}{C}_2}{15}$。
$k=1,\dots ,6$ で $\frac{5}{15},\frac{9}{15},\frac{12}{15},\frac{14}{15},\frac{15}{15},\frac{15}{15}$。その和は $\frac{70}{15}=\frac{280}{60}$。したがって $P(A)=\frac{1}{6}\cdot \frac{280}{60}$。

【$P(A\cap B)$】6個の玉を順に3個取り出すと考える（最初の2個が条件の2個、3個目が袋に残った玉からの1個）。3個目が赤玉である確率は $\frac{k}{6}$。このうち最初の2個がともに白玉である確率は $\frac{(6-k)(5-k)}{6\cdot 5}\cdot \frac{k}{4}$。よって
$P(A\cap B\mid k)=\frac{k}{6}-\frac{(6-k)(5-k)k}{120}$。
$k=1$: $0$、$k=2$: $\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15}$、$k=3$: $\frac{1}{2}-\frac{3}{20}=\frac{7}{20}$、$k=4$: $\frac{2}{3}-\frac{1}{15}=\frac{3}{5}$、$k=5$: $\frac{5}{6}$、$k=6$: $1$。
和は $\frac{0+8+21+36+50+60}{60}=\frac{175}{60}$。したがって $P(A\cap B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{175}{60}$。

【結果】$P(B\mid A)=\frac{175/60}{280/60}=\frac{175}{280}=\frac{5}{8}$。

検算：$k=1$ で $A\cap B$ が起こらないこと（赤玉1個を取り出すと残りに赤がない）、$k=6$ で確率1になることなど、各 $k$ の値が妥当であることを確認した。