場合の数と確率の問題

取り出した玉の中に赤玉がちょうど 2 個含まれるという事象を $E$、さいころの目が偶数であるという事象を $F$ とする。求める確率は $P_E(F)=\frac{P(E\cap F)}{P(E)}$ である。

さいころの目が $k$ のとき、6 個から $k$ 個を取り出す方法は ${}_6{\mathrm{C}}_k$ 通りで、これらは同様に確からしい。赤玉ちょうど 2 個を含む取り出し方は ${}_3{\mathrm{C}}_2\cdot {}_3{\mathrm{C}}_{k-2}$ 通りである（$k-2<0$ または $k-2>3$ のときは 0 通り）。よって、目が $k$ のときに $E$ が起こる確率を $q_k$ とすると、

• $k=1$：赤玉を 2 個取り出せないので $q_1=0$
• $k=2$：$q_2=\frac{3\cdot 1}{15}=\frac{1}{5}$
• $k=3$：$q_3=\frac{3\cdot 3}{20}=\frac{9}{20}$
• $k=4$：$q_4=\frac{3\cdot 3}{15}=\frac{3}{5}$
• $k=5$：$q_5=\frac{3\cdot 1}{6}=\frac{1}{2}$
• $k=6$：すべての玉を取り出すので赤玉は 3 個となり $q_6=0$

さいころの各目の出る確率は $\frac{1}{6}$ であるから、
$$P(E)=\frac{1}{6}\left(0+\frac{1}{5}+\frac{9}{20}+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}+0\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{4+9+12+10}{20}=\frac{1}{6}\cdot \frac{7}{4}=\frac{7}{24}$$

また、
$$P(E\cap F)=\frac{1}{6}\left(q_2+q_4+q_6\right)=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{5}+\frac{3}{5}+0\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{5}=\frac{2}{15}$$

したがって、
$$P_E(F)=\frac{2}{15}÷\frac{7}{24}=\frac{2}{15}\cdot \frac{24}{7}=\frac{48}{105}=\frac{16}{35}$$

さいころの目が $k$ のとき、赤玉がちょうど 2 個出る確率を $p_k$ とする。袋には赤 3 個・白 3 個が入っている。

• $k=1$: 赤 2 個は取り出せないので $p_1=0$
• $k=2$: $p_2=\frac{{}_3{C}_2\cdot {}_3{C}_0}{{}_6{C}_2}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=\frac{4}{20}$
• $k=3$: $p_3=\frac{{}_3{C}_2\cdot {}_3{C}_1}{{}_6{C}_3}=\frac{9}{20}$
• $k=4$: $p_4=\frac{{}_3{C}_2\cdot {}_3{C}_2}{{}_6{C}_4}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$
• $k=5$: $p_5=\frac{{}_3{C}_2\cdot {}_3{C}_3}{{}_6{C}_5}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=\frac{10}{20}$
• $k=6$: 赤玉は 3 個なので $p_6=0$

各目が出る確率はいずれも $\frac{1}{6}$ なので、共通の因数 $\frac{1}{6}$ は約分できる。

赤玉がちょうど 2 個である確率は $\frac{1}{6}\left(\frac{4}{20}+\frac{9}{20}+\frac{12}{20}+\frac{10}{20}\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{35}{20}$。

そのうち目が偶数（$k=2,4$）の確率は $\frac{1}{6}\left(\frac{4}{20}+\frac{12}{20}\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{16}{20}$。

よって求める条件付き確率は $\frac{16}{35}$。

検算：$16/35\approx 0.457$。全体 $35/20=1.75$ に対し偶数分 $0.8$ なので $0.8/1.75=0.457$ となり一致する。