原因の確率（ベイズの定理）

結果が起きたという条件のもとで、各原因の確率を全確率の公式とベイズの定理で求められる

前提

条件付き確率と乗法定理（数学A 場合の数と確率）

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算数中学高校大学大学院

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条件付き確率と乗法定理（数学A 場合の数と確率）

説明

「結果」が起きたと分かったあとで、その結果がどの「原因」から生じたのかを確率で表す方法を学びます。たとえば「取り出した製品が不良品だった。それが機械 A で作られた確率は？」のように、時間の順序とは逆向きの条件付き確率を求めます。原因ごとに結果の起こる確率が分かっているのに、知りたいのは逆向きの確率である、という場面で使います。

なぜそうしてよいのか

原因を $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 、結果を $E$ とします。原因は互いに排反（同時には起こらない）で、どれか 1 つは必ず起こるものとします。知りたいのは「 $E$ が起きたときに原因が $A_{1}$ である確率」 $P_{E} (A_{1})$ です。条件付き確率の定義から $P_{E} (A_{1}) = \frac{P ( A _{1} \cap E )}{P ( E )}$ です。分子は「先に $A_{1}$ が起こり、続いて $E$ が起こる」確率なので、乗法定理により $P (A_{1} \cap E) = P (A_{1}) P_{A_{1}} (E)$ と計算できます。

分母の $P (E)$ は直接は分かりません。しかし $E$ は、どの原因から起きたかで $A_{1} \cap E, A_{2} \cap E, \dots, A_{n} \cap E$ に分けられます。これらは互いに排反なので、確率を足し合わせて $P (E) = P (A_{1}) P_{A_{1}} (E) + P (A_{2}) P_{A_{2}} (E) + \dots + P (A_{n}) P_{A_{n}} (E)$ となります（全確率の公式）。樹形図でいえば、 $E$ に至るすべての枝の確率の和です。

これらを代入すると $P_{E} (A_{1}) = \frac{P ( A _{1} ) P _{A_{1}} ( E )}{P ( A _{1} ) P _{A_{1}} ( E ) + \dots + P ( A _{n} ) P _{A_{n}} ( E )}$ が得られます（ベイズの定理）。つまり「 $E$ に至る枝の確率の合計のうち、 $A_{1}$ を通る枝が占める割合」が原因の確率です。ただし $P (E) > 0$ のときに限ります。

手順

原因の事象 $A_{1}, \dots, A_{n}$ （互いに排反で、どれか 1 つは必ず起こる）と結果の事象 $E$ を決め、 $P (A_{i})$ と $P_{A_{i}} (E)$ を書き出す
乗法定理で各原因を通って $E$ に至る確率を求める： $P (A_{i} \cap E) = P (A_{i}) P_{A_{i}} (E)$
全確率の公式で結果の確率を求める： $P (E) = P (A_{1} \cap E) + \dots + P (A_{n} \cap E)$ （ $P (E) > 0$ を確認）
知りたい原因の確率を割合として求める： $P_{E} (A_{i}) = \frac{P ( A _{i} \cap E )}{P ( E )}$

例題

ある工場では、製品の $60%$ を機械 A、残りの $40%$ を機械 B で作っている。機械 A の製品の $2%$ 、機械 B の製品の $5%$ が不良品である。製品を 1 個取り出したところ不良品であった。この製品が機械 A で作られたものである確率を求めよ。

例題の解答

手順1：機械 A で作られる事象を $A$ 、機械 B で作られる事象を $B$ 、不良品である事象を $E$ とする。 $A$ と $B$ は互いに排反で、どちらか一方は必ず起こる。 $P (A) = \frac{60}{100}$ , $P (B) = \frac{40}{100}$ , $P_{A} (E) = \frac{2}{100}$ , $P_{B} (E) = \frac{5}{100}$ 。

手順2：乗法定理より $P (A \cap E) = \frac{60}{100} \times \frac{2}{100} = \frac{120}{10000}$ 、 $P (B \cap E) = \frac{40}{100} \times \frac{5}{100} = \frac{200}{10000}$ 。

手順3：全確率の公式より $P (E) = \frac{120}{10000} + \frac{200}{10000} = \frac{320}{10000}$ 。これは $0$ ではない。

手順4： $P_{E} (A) = \frac{P ( A \cap E )}{P ( E )} = \frac{120}{320} = \frac{3}{8}$ 。

よって、求める確率は $\frac{3}{8}$ である。

答え: $\frac{3}{8}$

よくある誤り

$P_{E} (A)$ と $P_{A} (E)$ を取り違えて、例題の答えを $\frac{2}{100}$ としてしまう誤り。正しくは、 $P_{A} (E) = \frac{2}{100}$ は「A の製品が不良品である確率」であり、求めるのは逆向きの $P_{E} (A) = \frac{P ( A \cap E )}{P ( E )} = \frac{3}{8}$ である。
分子の $P (A \cap E) = \frac{120}{10000}$ をそのまま答えにしてしまう誤り。正しくは、「不良品であった」という条件があるので、 $P (E) = \frac{320}{10000}$ で割って $\frac{120}{320} = \frac{3}{8}$ とする。
原因の起こりやすさを掛けずに、不良率だけで $\frac{2}{2 + 5} = \frac{2}{7}$ としてしまう誤り。正しくは、各原因の確率を掛けた $P (A) P_{A} (E)$ と $P (B) P_{B} (E)$ の比で、 $\frac{60 \times 2}{60 \times 2 + 40 \times 5} = \frac{3}{8}$ とする。
全確率の公式で、 $E$ に至る枝の一部を落としてしまう誤り（例： $P (E) = P (A) P_{A} (E)$ だけにする）。正しくは、互いに排反で、どれか 1 つは必ず起こる原因のすべてについて和をとり、 $P (E) = P (A) P_{A} (E) + P (B) P_{B} (E)$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

共役事前分布とベイズ推定（大学数学数理統計）