場合の数と確率の問題

取り出した製品が機械 $A$ で作られたものであるという事象を $A$、機械 $B$ で作られたものであるという事象を $B$、不良品であるという事象を $E$ とする。

問題文より
$$P(A)=\frac{70}{100},P(B)=\frac{30}{100},P_A(E)=\frac{2}{100},P_B(E)=\frac{5}{100}$$
である。求めるのは、結果 $E$ が起きたという条件のもとで原因が $A$ である確率 $P_E(A)=\frac{P(E\cap A)}{P(E)}$ である。

手順1：各原因から結果が起こる確率（乗法定理）
$$P(A\cap E)=P(A)P_A(E)=\frac{70}{100}\times \frac{2}{100}=\frac{140}{10000}$$
$$P(B\cap E)=P(B)P_B(E)=\frac{30}{100}\times \frac{5}{100}=\frac{150}{10000}$$

手順2：結果が起こる確率（全確率）
製品は $A$ か $B$ のどちらか一方で作られるので、事象 $A\cap E$ と $B\cap E$ は互いに排反である。よって
$$P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)=\frac{140}{10000}+\frac{150}{10000}=\frac{290}{10000}$$

手順3：原因の確率（ベイズの定理）
$$P_E(A)=\frac{P(A\cap E)}{P(E)}=\frac{\frac{140}{10000}}{\frac{290}{10000}}=\frac{140}{290}=\frac{14}{29}$$

したがって、求める確率は $\frac{14}{29}$ である。

機械 $A$ で作られた事象を $A$、機械 $B$ で作られた事象を $B$、不良品である事象を $D$ とする。
$P(A)=0.7,P(B)=0.3,P(D|A)=0.02,P(D|B)=0.05$。
$P(A\cap D)=0.7\times 0.02=0.014$、$P(B\cap D)=0.3\times 0.05=0.015$。
$P(D)=0.014+0.015=0.029$。
ベイズの定理（条件付き確率）より
$P(A|D)=\frac{0.014}{0.029}=\frac{14}{29}$。
検算：$P(B|D)=\frac{15}{29}$ で、和は $\frac{14}{29}+\frac{15}{29}=1$ となり、矛盾しない。