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場合の数と確率の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 場合の数と確率

箱の中に $8$ 個の製品が入っており、そのうち $2$ 個が不良品で、残りの $6$ 個は良品である。この箱から製品を $1$ 個取り出し、それを箱に戻さずに、続けてもう $1$ 個取り出す。 $1$ 個目が良品で、 $2$ 個目が不良品である確率を求めよ。

この問題で使うもの

条件付き確率と乗法定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「条件付き確率と乗法定理」を使います。 $1$ 個目が良品である事象を $A$ 、 $2$ 個目が不良品である事象を $B$ として、 $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ で計算しましょう。

ヒント 2

$P_{A} (B)$ は、「 $1$ 個目に良品を取り出したあと」の箱の中身で考えます。取り出した製品は戻さないので、箱の中の製品の個数が $1$ 個減っています。

ヒント 3

$P (A) = \frac{6}{8}$ です。 $1$ 個目に良品を取り出したあと、箱には良品 $5$ 個、不良品 $2$ 個の計 $7$ 個が残っています。

答えと解説

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\frac{3}{14}

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解説を読む

$1$ 個目が良品であるという事象を $A$ 、 $2$ 個目が不良品であるという事象を $B$ とする。求める確率は $P (A \cap B)$ である。

手順 1： $P (A)$ を求める。
最初、箱には $8$ 個の製品があり、そのうち良品は $6$ 個なので
$P (A) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

手順 2：条件付き確率 $P_{A} (B)$ を求める。
$1$ 個目に良品を取り出したとき、取り出した製品は戻さないので、箱には $7$ 個の製品が残る。その内訳は良品 $5$ 個、不良品 $2$ 個である。したがって、 $A$ が起こったという条件のもとで $2$ 個目が不良品である確率は
$P_{A} (B) = \frac{2}{7}$

手順 3：乗法定理を使う。
乗法定理 $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ より
$P (A \cap B) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$

（確認） $8$ 個の製品をすべて区別し、 $1$ 個目と $2$ 個目の取り出し方を順列で数えると、全体は $_{8} P_{2} = 56$ 通りである。このうち $1$ 個目が良品で $2$ 個目が不良品となるのは $6 \times 2 = 12$ 通りなので、確率は $\frac{12}{56} = \frac{3}{14}$ となり一致する。

よって、求める確率は $\frac{3}{14}$ である。

別解

1個目が良品である確率は $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ 。このとき箱には7個残り、そのうち不良品は2個なので、2個目が不良品である確率は $\frac{2}{7}$ 。よって求める確率は $\frac{3}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$ 。
検算：順列で考えると、全体は $_{8} P_{2} = 56$ 通り、1個目が良品で2個目が不良品なのは $6 \times 2 = 12$ 通りなので、 $\frac{12}{56} = \frac{3}{14}$ 。一致する。

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