場合の数と確率の問題

方針 「少なくとも $1$ 個」という事象は、その余事象「白玉が $1$ 個も含まれない（$3$ 個とも赤玉）」を考えると数えやすくなります。そこで、余事象の確率 $P(\overline{A})$ を求め、$P(A)=1-P(\overline{A})$ を使います。

手順 1：根元事象の総数を数える
$7$ 個の玉はすべて区別して考えます。$7$ 個から $3$ 個を取り出す取り出し方は、どれも同様に確からしく、その総数は
$${}_7{\mathrm{C}}_3=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35(\text{通り})$$
です。

手順 2：余事象を決める
事象 $A$ を「白玉が少なくとも $1$ 個含まれる」とすると、その余事象 $\overline{A}$ は「白玉が $1$ 個も含まれない」、つまり「$3$ 個とも赤玉」です。

手順 3：余事象の確率を求める
$3$ 個とも赤玉になるのは、赤玉 $4$ 個から $3$ 個を選ぶ場合なので
$${}_4{\mathrm{C}}_3={}_4{\mathrm{C}}_1=4(\text{通り})$$
です。よって
$$P(\overline{A})=\frac{4}{35}$$

手順 4：余事象の確率を使う
$$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{4}{35}=\frac{31}{35}$$

したがって、求める確率は $\frac{31}{35}$ です。

余事象（白玉が 1 個も含まれない＝3 個とも赤玉）を考える。
7 個から 3 個を取り出す方法は ${}_7{\mathrm{C}}_3=35$ 通り。
3 個とも赤玉になる方法は ${}_4{\mathrm{C}}_3=4$ 通り。
よって 3 個とも赤玉になる確率は $\frac{4}{35}$。
求める確率は $1-\frac{4}{35}=\frac{31}{35}$。
検算：白玉がちょうど 1 個の場合は ${}_3{\mathrm{C}}_1\cdot {}_4{\mathrm{C}}_2=18$ 通り、ちょうど 2 個の場合は ${}_3{\mathrm{C}}_2\cdot {}_4{\mathrm{C}}_1=12$ 通り、3 個の場合は ${}_3{\mathrm{C}}_3=1$ 通り。合計 $18+12+1=31$ 通りで、確率は $\frac{31}{35}$。これは上の結果と一致する。