場合の数と確率の問題

$1$ 回目に赤玉を取り出す事象を $R_1$、白玉を取り出す事象を $W_1$、$2$ 回目に白玉を取り出す事象を $W_2$ とする。求める確率は $P_{W_2}(R_1)=\frac{P(R_1\cap W_2)}{P(W_2)}$ である。

(i) $1$ 回目が赤玉のとき

$P(R_1)=\frac{4}{7}$ である。赤玉を戻して赤玉を $2$ 個追加するので、袋の中は赤玉 $6$ 個、白玉 $3$ 個の計 $9$ 個になる。よって
$$P(R_1\cap W_2)=\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{9}=\frac{4}{21}=\frac{12}{63}.$$

(ii) $1$ 回目が白玉のとき

$P(W_1)=\frac{3}{7}$ である。白玉を戻して白玉を $2$ 個追加するので、袋の中は赤玉 $4$ 個、白玉 $5$ 個の計 $9$ 個になる。よって
$$P(W_1\cap W_2)=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{9}=\frac{15}{63}.$$

(i), (ii) は互いに排反なので
$$P(W_2)=\frac{12}{63}+\frac{15}{63}=\frac{27}{63}=\frac{3}{7}.$$

したがって
$$P_{W_2}(R_1)=\frac{P(R_1\cap W_2)}{P(W_2)}=\frac{\frac{12}{63}}{\frac{27}{63}}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}.$$

1回目に赤玉を取る確率は $\frac{4}{7}$。このとき袋は赤6個・白3個の計9個になり、2回目に白玉を取る確率は $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。よって、赤→白の確率は $\frac{4}{7}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{21}$。
1回目に白玉を取る確率は $\frac{3}{7}$。このとき袋は赤4個・白5個の計9個になり、2回目に白玉を取る確率は $\frac{5}{9}$。よって、白→白の確率は $\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{9}=\frac{5}{21}$。
2回目が白玉である確率は $\frac{4}{21}+\frac{5}{21}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$。
求める条件付き確率は $\frac{4/21}{9/21}=\frac{4}{9}$。
検算：2回目に白を取る確率は $\frac{3}{7}$で、対称性から1回目に白を取る確率と等しく、これは妥当である。