この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

場合の数と確率の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 場合の数と確率

袋の中に赤玉 $4$ 個と白玉 $3$ 個の合計 $7$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $3$ 個同時に取り出すとき、取り出した $3$ 個のうち少なくとも $1$ 個が白玉である確率を求めよ。

この問題で使うもの

確率の定義と和事象・余事象（説明と入口の問題）
組合せ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（6 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「確率の定義と余事象の確率」を使います。「少なくとも $1$ 個」とあるときは、その余事象を考えると数えやすくなります。

ヒント 2

「少なくとも $1$ 個が白玉」の余事象は「 $3$ 個とも赤玉」です。 $P (A) = 1 - P (A)$ を使いましょう。

ヒント 3

全体の取り出し方は $_{7} C_{3} = 35$ 通り、 $3$ 個とも赤玉になる取り出し方は $_{4} C_{3} = 4$ 通りです。

答えと解説

答えを見る

\frac{31}{35}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

方針「少なくとも $1$ 個が白玉」という事象を直接数えると、白玉が $1$ 個・ $2$ 個・ $3$ 個の場合に分ける必要がある。そこで余事象を考える。

手順 1：根元事象を数える
$7$ 個の玉はすべて区別して考える。 $7$ 個から $3$ 個を取り出す取り出し方は
$_{7} C_{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 通り$
で、これらは同様に確からしい。

手順 2：余事象を考える
事象 $A$ を「少なくとも $1$ 個が白玉」とすると、その余事象 $A$ は「 $3$ 個とも赤玉」である。
赤玉 $4$ 個から $3$ 個を取り出す取り出し方は
$_{4} C_{3} =_{4} C_{1} = 4 通り$
よって
$P (A) = \frac{4}{35}$

手順 3：余事象の確率を使う
$P (A) = 1 - P (A)$ より
$P (A) = 1 - \frac{4}{35} = \frac{31}{35}$

（確認：白玉が $1$ 個のとき $_{3} C_{1} \times_{4} C_{2} = 18$ 通り、 $2$ 個のとき $_{3} C_{2} \times_{4} C_{1} = 12$ 通り、 $3$ 個のとき $_{3} C_{3} = 1$ 通りで、合計 $31$ 通り。これらは互いに排反なので加法定理より $\frac{31}{35}$ となり一致する。）

答え： $\frac{31}{35}$

別解

7個から3個を同時に取り出す場合の数は $_{7} C_{3} = 35$ 通り。余事象は「3個とも赤玉」で、 $_{4} C_{3} = 4$ 通り。よって求める確率は $1 - \frac{4}{35} = \frac{31}{35}$ 。検算：白玉の個数が1,2,3個の場合はそれぞれ $_{3} C_{1} \cdot_{4} C_{2} = 18$ 、 $_{3} C_{2} \cdot_{4} C_{1} = 12$ 、 $_{3} C_{3} = 1$ で、合計 $31$ 通り。 $\frac{31}{35}$ となり一致する。

場合の数と確率の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題