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場合の数と確率の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学A 場合の数と確率

袋 A には赤玉 3 個と白玉 2 個が、袋 B には赤玉 2 個と白玉 4 個が入っている。1 個のさいころを 1 回投げ、1 または 2 の目が出たら袋 A を、それ以外の目が出たら袋 B を選ぶ。選んだ袋から玉を 2 個同時に取り出したところ、2 個とも赤玉であった。このとき、選んだ袋が A である確率を求めよ。

この問題で使うもの

原因の確率（ベイズの定理）（説明と入口の問題）
条件付き確率と乗法定理（説明と入口の問題）
組合せ（説明と入口の問題）
確率の定義と和事象・余事象（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（8 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「2 個とも赤玉であった」という条件のもとで袋 A を選んでいた確率なので、条件付き確率 $P_{R} (A) = \frac{P ( A \cap R )}{P ( R )}$ を考えます。

ヒント 2

$P (R)$ は「袋 A を選んで 2 個とも赤」と「袋 B を選んで 2 個とも赤」の確率の和です。それぞれ袋を選ぶ確率と、その袋から 2 個とも赤玉を取り出す確率の積で求められます。

ヒント 3

$P (A \cap R) = \frac{1}{3} \times \frac{_{3} C _{2}}{_{5} C _{2}} = \frac{1}{10}$ 、 $P (B \cap R) = \frac{2}{3} \times \frac{_{2} C _{2}}{_{6} C _{2}} = \frac{2}{45}$ となります。

答えと解説

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\frac{9}{13}

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解説を読む

袋 A を選ぶ事象を $A$ 、袋 B を選ぶ事象を $B$ 、取り出した 2 個がともに赤玉である事象を $R$ とする。

さいころで 1 または 2 の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ なので
$P (A) = \frac{1}{3}, P (B) = \frac{2}{3}$

袋 A（全部で 5 個）から 2 個取り出すとき、2 個とも赤玉である確率は
$P_{A} (R) = \frac{_{3} C _{2}}{_{5} C _{2}} = \frac{3}{10}$
袋 B（全部で 6 個）から 2 個取り出すとき、2 個とも赤玉である確率は
$P_{B} (R) = \frac{_{2} C _{2}}{_{6} C _{2}} = \frac{1}{15}$

したがって
$P (A \cap R) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{1}{10} = \frac{9}{90}$
$P (B \cap R) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{15} = \frac{2}{45} = \frac{4}{90}$
よって
$P (R) = \frac{9}{90} + \frac{4}{90} = \frac{13}{90}$

求める確率は条件付き確率 $P_{R} (A)$ であり
$P_{R} (A) = \frac{P ( A \cap R )}{P ( R )} = \frac{\frac{9}{90}}{\frac{13}{90}} = \frac{9}{13}$

別解

袋Aを選ぶ確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 、袋Bを選ぶ確率は $\frac{2}{3}$ 。
袋Aから2個とも赤玉である確率は $\frac{_{3} C _{2}}{_{5} C _{2}} = \frac{3}{10}$ 。
袋Bから2個とも赤玉である確率は $\frac{_{2} C _{2}}{_{6} C _{2}} = \frac{1}{15}$ 。
2個とも赤玉である確率は $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{10} + \frac{2}{45} = \frac{9}{90} + \frac{4}{90} = \frac{13}{90}$ 。
よって求める条件付き確率は $\frac{1/10}{13/90} = \frac{9}{13}$ 。
検算：Bの場合は $\frac{4}{90}$ なので、 $\frac{9}{9 + 4} = \frac{9}{13}$ で一致する。

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