場合の数と確率の問題

取り出した製品が機械 $A$ で作られたものであるという事象を $A$、機械 $B$ で作られたものであるという事象を $B$、不良品であるという事象を $E$ とする。

問題文より
$$P(A)=\frac{70}{100},P(B)=\frac{30}{100},P_A(E)=\frac{1}{100},P_B(E)=\frac{4}{100}$$
である。求めるのは、不良品であったという結果 $E$ が起きたときに、原因が機械 $B$ である確率 $P_E(B)$ である。

手順 1：各原因から結果が起こる確率（乗法定理）
$$P(A\cap E)=P(A)P_A(E)=\frac{70}{100}\times \frac{1}{100}=\frac{70}{10000}$$
$$P(B\cap E)=P(B)P_B(E)=\frac{30}{100}\times \frac{4}{100}=\frac{120}{10000}$$

手順 2：結果が起こる確率（全確率）
製品は機械 $A$ か機械 $B$ のどちらか一方で作られるので、$A\cap E$ と $B\cap E$ は互いに排反である。よって
$$P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)=\frac{70}{10000}+\frac{120}{10000}=\frac{190}{10000}$$

手順 3：原因の確率（ベイズの定理）
条件付き確率の定義より
$$P_E(B)=\frac{P(B\cap E)}{P(E)}=\frac{\frac{120}{10000}}{\frac{190}{10000}}=\frac{120}{190}=\frac{12}{19}$$

したがって、求める確率は $\frac{12}{19}$ である。

機械 $A$ の製品である事象を $A$、機械 $B$ の製品である事象を $B$、不良品である事象を $D$ とする。
$P(A)=0.7,P(B)=0.3,P(D|A)=0.01,P(D|B)=0.04$。
$P(A\cap D)=0.7\times 0.01=0.007$、$P(B\cap D)=0.3\times 0.04=0.012$。
$P(D)=0.007+0.012=0.019$。
ベイズの定理より $P(B|D)=\frac{0.012}{0.019}=\frac{12}{19}$。
検算：全製品を 1000 個とすると、不良品は $A$ から 7 個、$B$ から 12 個で計 19 個。そのうち $B$ のものは $12/19$。