場合の数と確率の問題

選んだ製品が機械 $A$ で作られたものであるという事象を $A$、機械 $B$ で作られたものであるという事象を $B$、不良品であるという事象を $E$ とする。

問題文より
$$P(A)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5},P(B)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5},P_A(E)=\frac{2}{100}=\frac{1}{50},P_B(E)=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$$
である。

手順 1: 原因ごとに「原因かつ結果」の確率を乗法定理で求める。
$$P(A\cap E)=P(A)P_A(E)=\frac{3}{5}\times \frac{1}{50}=\frac{3}{250}$$
$$P(B\cap E)=P(B)P_B(E)=\frac{2}{5}\times \frac{1}{20}=\frac{1}{50}=\frac{5}{250}$$

手順 2: 結果 $E$ が起こる確率を求める（全確率の公式）。
製品は $A$ か $B$ のどちらか一方で作られるので、$A\cap E$ と $B\cap E$ は互いに排反であり、$E=(A\cap E)\cup (B\cap E)$ である。よって
$$P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)=\frac{3}{250}+\frac{5}{250}=\frac{8}{250}$$

手順 3: 結果 $E$ が起きたという条件のもとで、原因 $B$ の確率を求める（ベイズの定理）。
$$P_E(B)=\frac{P(B\cap E)}{P(E)}=\frac{\frac{5}{250}}{\frac{8}{250}}=\frac{5}{8}$$

したがって、求める確率は $\frac{5}{8}$ である。

事象 $B$：機械 $B$ で作られた、$D$：不良品 とする。
$P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(D|A)=0.02,P(D|B)=0.05$。
$P(A\cap D)=0.6\times 0.02=0.012$、$P(B\cap D)=0.4\times 0.05=0.020$。
$P(D)=0.012+0.020=0.032$。
ベイズの定理（条件付き確率の定義）より $P(B|D)=\frac{0.020}{0.032}=\frac{5}{8}$。
検算：$P(A|D)=0.012/0.032=3/8$ で、$3/8+5/8=1$ となり整合する。