場合の数と確率の問題

$k$ 回目まで投げた時点での目の合計を $S_k$ とする。

事象を次のように定める。
- $A$：やめた時点での合計が $10$ である。
- $B$：ある $k$ で $S_k=4$ となる。

求める確率は $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ である。

1. 合計がちょうど $n$ になる確率（$1\leqq n\leqq 6$）

合計が $6$ 以下のうちは投げ続けるので、$1\leqq n\leqq 6$ に対して「ある回で合計がちょうど $n$ になる」確率 $p_n$ は、途中でやめる規則の影響を受けない。

$k$ 回で合計がちょうど $n$ になる目の出方を数える。これは正の整数 $k$ 個の和で $n$ を表す並びの個数に等しい。$n$ 個の玉を一列に並べ、$n-1$ か所のすき間から $k-1$ か所を選んで仕切ると考えれば、${}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}$ 通りである。各数は $n\leqq 6$ 以下なので、どれもさいころの目として実現できる。それぞれの確率は ${\left(\frac{1}{6}\right)}^k$ である。よって二項定理より
$$p_n=\sum _{k=1}^n{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}{\left(\frac{1}{6}\right)}^k=\frac{1}{6}\sum _{j=0}^{n-1}{}_{n-1}{\mathrm{C}}_j{\left(\frac{1}{6}\right)}^j=\frac{1}{6}{\left(\frac{7}{6}\right)}^{n-1}$$
となる。特に $p_4=\frac{343}{1296}$ である。

また、合計 $m$ の状態から、その後に合計がちょうど $m+d$（$1\leqq m+d\leqq 6$）になる確率も、同じ理由で $p_d$ に等しい。

2. $P(A)$ の計算

やめる直前の合計を $s$ とすると $s\leqq 6$ である。最後の目 $10-s$ が $6$ 以下であることから $s\geqq 4$ となり、$s=4,5,6$ に限られる。さらに $s+(10-s)=10\geqq 7$ なので、合計 $s$ から目 $10-s$ が出れば必ずそこでやめる。$s$ は 1 通りに決まるので、これらの場合は互いに排反である。したがって
$$P(A)=\frac{1}{6}(p_4+p_5+p_6)=\frac{1}{36}{\left(\frac{7}{6}\right)}^3\left(1+\frac{7}{6}+\frac{49}{36}\right)=\frac{1}{36}\cdot \frac{343}{216}\cdot \frac{127}{36}=\frac{343\cdot 127}{279936}$$
となる。

3. $P(A\cap B)$ の計算

やめる直前の合計 $s$ で場合を分ける。
- $s=4$ のとき：合計 $4$ に到達し、$6$ の目が出る。確率は $p_4\cdot \frac{1}{6}$。
- $s=5$ のとき：合計 $4$ に到達し、$1$ の目で $5$ になり、$5$ の目が出る。確率は $p_4\cdot p_1\cdot \frac{1}{6}=p_4\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}$。
- $s=6$ のとき：合計 $4$ に到達し、その後に合計 $6$ に到達し（確率 $p_2=\frac{7}{36}$）、$4$ の目が出る。確率は $p_4\cdot \frac{7}{36}\cdot \frac{1}{6}$。

よって
$$P(A\cap B)=\frac{p_4}{6}\left(1+\frac{1}{6}+\frac{7}{36}\right)=\frac{p_4}{6}\cdot \frac{49}{36}=\frac{343}{1296}\cdot \frac{49}{216}=\frac{343\cdot 49}{279936}$$
となる。

4. 結論
$$P_A(B)=\frac{343\cdot 49}{343\cdot 127}=\frac{49}{127}$$

さいころの目の合計が $n$ ちょうどになる確率を $p_n$ とする。$p_0=1$, $p_n=\frac{1}{6}{\sum }_{k=1}^6{p}_{n-k}$（負の添字は 0）。
計算すると $p_4=\frac{343}{1296}$, $p_5=\frac{2401}{7776}$, $p_6=\frac{16807}{46656}$ となる。

最終合計が $10$ になるのは、合計が $4,5,6$ のどれかになった直後に、それぞれ $6,5,4$ の目が出るときである。合計が 6 以下の間はまだ続くので、これらの合計になる確率はそのまま $p_4,p_5,p_6$ である。
よって $P(\text{最終}=10)=\frac{1}{6}(p_4+p_5+p_6)=\frac{1}{6}\cdot \frac{12348+14406+16807}{46656}=\frac{43561}{279936}$。

次に、途中で合計がちょうど 4 になり、かつ最終が 10 になる確率を求める。合計 $s$ から出発して最終が 10 になる確率を $q(s)$ とすると、
$q(6)=\frac{1}{6}$, $q(5)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}q(6)=\frac{7}{36}$, $q(4)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}q(5)+\frac{1}{6}q(6)=\frac{49}{216}$。
よって同時確率は $p_{4}q(4)=\frac{343}{1296}\cdot \frac{49}{216}=\frac{16807}{279936}$。

条件付き確率は $\frac{16807}{43561}$。$16807=7^5$, $43561=7^3\cdot 127$ なので約分して $\frac{49}{127}$。

検算：4 を経由しない場合の確率は $\frac{1}{6}(p_5\text{ のうち 4 を経由しない分}+\dots )$ となるが、全体の分母が $43561=343\cdot 127$ と割り切れることから、計算に矛盾はない。