場合の数と確率の問題

言い換え

和が $7$ になる目の組は $\{1,6\},\{2,5\},\{3,4\}$ の $3$ 組である。$7$ は奇数なので、同じ目を $2$ 回使って和を $7$ にすることはできない。

したがって、求める事象は「この $3$ 組のうち少なくとも $1$ 組について、その $2$ つの目がどちらも $6$ 回の中に出る」ことである。

余事象の数え上げ

目の出方は全部で $6^6=46656$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

余事象は「出た目の種類の集合 $S$ が、どの組も丸ごとは含まない」ことである。つまり $S$ は各組から高々 $1$ つずつしか目を含まない。

$|S|=k$ となる $S$ の個数を求める。$3$ 組のうち $k$ 組を選び、それぞれから $1$ つの目を選ぶので ${}_3{\mathrm{C}}_k\cdot 2^k$ 個ある。

次に、目の種類の集合がちょうど $S$ になる出方の数を求める。
- $k=1$: $1$ 通り
- $k=2$: $2^6-2=62$ 通り
- $k=3$: $3^6-{}_3{\mathrm{C}}_1\cdot 2^6+{}_3{\mathrm{C}}_2\cdot 1^6=729-192+3=540$ 通り

よって余事象の場合の数は
$$6\cdot 1+12\cdot 62+8\cdot 540=6+744+4320=5070$$
である。

（検算）和事象として数える方法

$A_i$ を「第 $i$ 組の $2$ つの目がともに出る」事象とする。

$$|A_1|=6^6-2\cdot 5^6+4^6=46656-31250+4096=19502$$

$$|A_1\cap A_2|=6^6-4\cdot 5^6+6\cdot 4^6-4\cdot 3^6+2^6=46656-62500+24576-2916+64=5880$$

$|A_1\cap A_2\cap A_3|$ は $6$ 回で $1$ から $6$ がすべて出る場合なので $6!=720$ である。

対称性から $|A_1|=|A_2|=|A_3|$、$|A_1\cap A_2|=|A_2\cap A_3|=|A_3\cap A_1|$ なので、
$$|A_1\cup A_2\cup A_3|=3\cdot 19502-3\cdot 5880+720=41586$$
となる。これは $46656-5070=41586$ と一致する。

答え

$$\frac{41586}{46656}=\frac{6931}{7776}$$

$7776=2^5\cdot 3^5$、$6931=29\cdot 239$ なので、これ以上約分できない。

和が7になる目の組は $(1,6),(2,5),(3,4)$ の3組である。「和を7にできる」の余事象は、6回に出た目の集合に、これらの組の両方が同時に含まれることがない場合である。つまり、出た目の集合が各組から高々1つしか含まない場合を数える。

出た目の種類数 $k$ で場合分けする。出た目の集合として可能なものの個数は、$k$ 個の組を選び、各組からどちらか1つを選ぶので $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{k}\right)2^k$ 通り。出る目がちょうどその $k$ 種類になる目の列の個数は、6回から $k$ 個への全射の個数に等しい。

• $k=1$: 集合は $3\cdot 2=6$ 通り。全射は1通りなので $6\times 1=6$
• $k=2$: 集合は $3\cdot 4=12$ 通り。全射は $2^6-2=62$ 通りなので $12\times 62=744$
• $k=3$: 集合は $8$ 通り。全射は $3^6-3\cdot 2^6+3=540$ 通りなので $8\times 540=4320$

合計は $6+744+4320=5070$ 通り。全体は $6^6=46656$ 通りである。

よって求める確率は
$1-\frac{5070}{46656}=\frac{41586}{46656}=\frac{6931}{7776}$

検算: $41586=6\times 6931$、$46656=6\times 7776$ であり、$6931$ は奇数で各位の和が $19$ なので $2,3$ で割り切れない。したがってこれ以上約分できない。